leetcode 题解 84. Largest Rectangle in Histogram (单调栈的应用们)

leetcode 题解 84. Largest Rectangle in Histogram (单调栈的应用们)

Given n non-negative integers representing the histogram's bar height where the width of each bar is 1, find the area of largest rectangle in the histogram.

Above is a histogram where width of each bar is 1, given height = [2,1,5,6,2,3].

The largest rectangle is shown in the shaded area, which has area = 10 unit.

图片我就不贴了,大家自己脑补就好。

这个问题是归类在stack题目分类下了。一开始我怎么看是怎么觉得这应该是一个类似于线段树的题目的,区间内求最小值乘以区间长度这样?

后来我发现discuss区有几位大佬都是用栈去解决这个问题的,这就激发了我的好奇心,搜索了一番,发现了一种名为“单调栈”的套路。

单调栈,顾名思义,就是栈维持某种单调性,比如递增、递减、递不增、递不减。那么加入我有一个数组,要压栈,要实现这种单调性,怎么破?有以下两种思路:

  • 当要压栈的数不满足规定的单调性,就不把这个数压栈。
  • 当压栈的数破坏了单调性,就不停地弹出栈中的元素,直到新数字压进去也不会破坏单调性为止。这么说可能有点绕,举个例子,比如我要在一个单调递增的栈中压入新数字3,而栈顶元素是4,此时直接压入3就不是单调栈了,这时候我就弹出4,看新的栈顶元素,以此类推,直到栈顶元素小于3为止。

方法一按下不表,单看方法二,还是有很多用途的。最大的用途可以总结为:我可以找到数组中每一个特定数字后面会满足/破坏某种条件的第一个元素。

来,请听题:

给定一个数组,输出一个与这个数组等长的数组作为结果。输出的数组中的元素为,对于原数组中的第i个元素,需要往后移动多少个单位,才能找到第一个比他大的数字。如果没有比他大的元素,该位输出-1

这个时候,我们可以分析这个问题:

如果所有元素后面都没有比他大的数字,那么这个数组就是一个单调递减的数组。如果按顺序把这个数组压栈,则这个栈也就是一个单调递减的栈。

那么如果我们构造一个单调栈,假如,我是说假如,此时有一个元素插进来,破坏了这个单调性,那么我们是不是可以认为,就找到了第一个比相应元素大的元素呢?

考虑一个测试例:

[9, 3, 5, 8, 2, 6]

实际上他还隐含了信息:位置。

我们可以写成这样:

[
    <0, 9>,
    <1, 3>,
    <2, 5>,
    <3, 8>,
    <4, 2>,
    <5, 6>
]

然后我们可以构造一个单调递减的栈,不同的是,我们在比较的时候使用值,但是在栈中存储的却是下标,原因也很简单,因为结果要的是距离,所以我们存下标嘛。

ok,那我们开始压栈了~

压9,此时栈中元素为[0],并且结果的数组是[-1, -1, -1, -1, -1, -1]

压3,此时判断9大于3,于是正常压栈:[0, 1]

压5,此时发现3小于5,单调栈的结构要被破坏了,也就是说这个时候我们发现了比3大的第一个元素,于是出栈,并且可以更新3对应的距离了,结果数组变成了[-1, 1, -1, -1, -1, -1]

以此类推:当需要出栈的时候,就是更新结果之时,反之若一个下标值一直没有机会出栈,那么就说明从来没有数比他要大。

那么写成代码大概可以是这样的:

vector findLarger(vector& input) {
    stack tmp;
    size_t len = input.size();
    vector output(len, -1);
    
    for(int i = 0; i < len; i++) {
        while(!tmp.empty() && input[i] < input[tmp.top()]) {
            output[tmp.top()] = i - tmp.top();
            tmp.pop();
        }
        tmp.push(input[i]);
    }
    
    return output;
}

看起来很简洁是不?而且复杂度也只是O(n)。每个元素最多进行一次入栈一次出栈。

OK,说完了单调栈的某些应用,我们可以来看看Leetcode的84题了。

这个题目我们只需要分析清楚一件事就够了:我们肯定是以某个矩形的顶为高来计算最大值的,所以我们只要想办法计算出以每个矩形为顶矩形的面积并迭代即可。这时候我们可以考虑维护一个递增的单调栈,当需要出栈的时候,说明以该矩形为顶的矩形的最大面积已经计算完毕了。(想想一下,如果右边元素比左边低了,那么左边那个顶为高度的矩形肯定已经无法向右边延展了)这个时候可以计算一下矩形的值,并且更新一下max了。

写成代码大概是这样的:

class Solution {
public:
    int largestRectangleArea(vector& heights) {
        heights.insert(heights.begin(), 0);
        heights.push_back(0);
        stack tmp;
        int result = 0, sz = heights.size();
        tmp.push(0);
        for(int i = 1; i < sz; i++) {
            while(heights[tmp.top()] > heights[i]) {
                int h = heights[tmp.top()];
                tmp.pop();
                result = max(result, (i - tmp.top() - 1) * h);
            }
            tmp.push(i);
        }
        
        heights.erase(heights.begin());
        heights.pop_back();
        
        return result;
    }
}; 

这样就够了。

这里用到讨论区某个大佬的一个trick,向头尾各插一个0进去,可以保证栈内有元素而省去一个判断栈是否为空的步骤。

总的来说,单调栈看起来简单,其实应用场景很灵活,有时候都很难想到要去使用单调栈来解决问题,这个还是因为菜……需要多练习ORZ。总的来说,求取某个一二维数组的,满足某种规则的极值,而这个极值还和相对位置强相关的时候,可以考虑使用单调栈解决。

参考文献

  1. 84. Largest Rectangle in Histogram
  2. 刷题笔记6(浅谈单调栈)

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