Catalan数

卡特兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012......
Catalan数满足以下性质：
令h(0)=1,h(1)=1，Catalan数满足递推式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
另类递推式：
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
当然，上面的递推公式太繁琐了，于是数学家们求出了递推关系的解的通项公式：
h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)(n=0,1,2,...)
可以化简为 h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

应用：

1. 矩阵连乘，求括号化的方案有几种？
2. 出栈次序，求一个进栈序列1~n有几种不同的出栈序列？
   假设序数k是最后一个出栈的数，比k早进栈早出栈的有k-1个数，共有h(k-1)中方案；比k晚进栈早出栈的有n-k个数，共有h(n-k)中方案。由于比k先进栈和比k后进栈的情况是相互独立的，所以可用乘法定理，共有h(n-k)*h(k-1)中，求和便得到卡特兰递推式。

另类分析:
对于每个数来说，必须进栈一次，出栈一次。设进栈状态为1，出栈状态为0，n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。故序列的总数目=从左到右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数大于等于0的累计数的方案种数。在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求：不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)

类似问题: 买零找零
有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3. 凸多边形三角划分
   在凸n边形上任选一个顶点k，则该点处可分割成凸k边形和凸n-k+1边形，故凸n边形的划分数f(n)为求和f(k)*f(n-k+1) (2<=k<=n-1)，即f(n) = f(2)f(n-2+1) + f(3)f(n-3+1) + ...+ f(n-1)f(2) , 故f(n) = h(n-2) (n=2,3,4...) 向右平移2个单位。
   
   

   image.png

4. 给定n个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？
   假设采用中序遍历，根节点第k个被访问到，则根节点的左子树有k-1个节点，根节点的右子树有n-k个节点。k的取值为1到n.
5. n对括号正确匹配数目
   给定n对括号，求括号正确匹配的形式有多少种？
   0对括号：[空序列] 1种可能
   1对括号：() 1种可能
   2对括号：()() (()) 2种可能
   3对括号：((())) ()(()) ()()() (())() (()()) 5种可能