理解计算机（二）---如何实现减法

阅读本文需提前学习《编码---隐匿在计算机软硬件背后的语言》前十二章

上一章中我们通过全加器中的“加和输出”和“进位输出”在电路中完成了加法运算。
我们知道加法中存在进位，而减法中存在的则是借位，例如下面的式子：

16 - 8 = ?

减数16的个位要比被减数的个位大，所以需要从被减数的十位借1个10（1位）过来完成整个运算。
在计算机中其实没有用来实现减法的逻辑门，它是通过加法来实现的。因为任何减法比如X - Y都可以表示为X + （-Y）。因为加法器我们已经完成，那么现在的问题就变成了负数如何在计算机中表示？
你可能会说直接在数字前面加符号即可，但是要知道计算机其实只认识“0”和“1”，它并不认识负号。
其实解决方法也很简单，假设我们的十进制数取值范围是-128-127，那么从0-127我们就用他们对应的8位二进制范围就是00000000-01111111。
我们发现8位二进制数的范围是00000000-11111111，而刚刚我们只是用到了所有最高位是0的二进制数字，以1开头的二进制数字都没有用到，那么我们就用这些以1开头的二进制数字来表示-128--1这个范围内所有的数字。也就是说8位二进制的最高位是一个符号位，1代表负数，0代表正数。

二进制对比表

到此我们解决了上面提出的问题，负数如何在计算机中表示。我们回到最开始的那个式子：

16 - 8 = ?

我们可以把式子写成下面的形式：

16 - 8 = 16 + （-8）

就是上面我们所说的任何减法都可以写成X + （-Y）的形式。
16的二进制是00010000，而-8的二进制形式就是上面我们所说的10001000，其中最高位的1代表是负数的意思。
那么两个数相加
　0 0 0 1 0 0 0 0
＋1 0 0 0 1 0 0 0
—————————
　１0 0 1 1 0 0 0
换算成十进制就是-24，这显然不是我们想要的答案。
在这里我们要明白，负数在计算机内部用什么方式表示都是无所谓的，只要能保证一一对应的关系就可以。那么肯定是怎么方便怎么来。上面的形式虽然说可以表示一定范围内的每个负数，但是正常的加法规则不适用于正数与负数的加法，因此必须制定两套运算规则，一套用于正数加正数，还有一套用于正数加负数。从电路上说，就是必须为加法运算做两种电路。于是，我们的先人们就发明了“补码”这种东西。
所谓补码，在二进制中，就是说正数的补码还是其本身，而负数的补码是首位不变，其原码（本身）取反变成反码再加1。或者说成是其绝对值的原码取反再加1。
这样做的好处是什么呢？
还看上面的例子，-8的补码应该是10001000取反得到反码11110111再加1得到补码11111000。两个数相加
　0 0 0 1 0 0 0 0
＋1 1 1 1 1 0 0 0
————————
1 0 0 0 0 1 0 0 0
可以看到，按照正常的加法规则，得到的结果是100001000。注意，这是一个9位的二进制数。我们已经假定这是一台8位机，因此最高的第9位是一个溢出位，会被自动舍去。所以，结果就变成了00001000，转成十进制正好是8，也就是16 + (-8) 的正确答案。这说明了，2的补码表示法可以将加法运算规则，扩展到整个整数集，从而用一套电路就可以实现全部整数的加法。
所以说，在计算机中，所有数字都是以补码的形式存储的。
现在我们已经完美解决了负数在计算机中的表示方式，下面我们只需要通过逻辑门来搭建出可以计算减法的工具即可。
我们把之前全加器的面板做一点改动，如下图：

加法减法面板

它在最左侧增加一个开关和一个灯泡，开关用来选择加法还是减法。灯泡表示“上溢/下溢”。这个灯泡表明了正在计算的数字是一个不能用8个灯泡表示的数字。如果在加法中得到的结果大于255（上溢）或者在减法中得到了负数（下溢）这个灯泡就会发光。
这个设备的加法部分我们在上一章已经完成，现在只需要解决减法部分即可，我们已经知道 在计算机中，所有数字都是以补码的形式存储的。在二进制中取补码只要把对应的1变成0、0变成1后再加1即可。自然而然就可以想到反向器，它的功能正是我们需要的。我们直接把电路改造为如下图：

求补器电路图

标记为“取反”的线路将被输入到每一个异或门中，回想一下异或门的工作方式：

异或门工作方式

我们可以发现，当“取反”信号是0，则8个异或门输出与输入是相同的。当“取反”信号是1，8个异或门的输入与输出则不同。这个装置叫做求补器，如下所示：

求补器简图

我们想要做的是在一个机器里同时实现加/减法，将一个求补器，一个8位二进制加法器和一个异或门做如下连接：

加减法器

上图三个"SUB"标识就是加/减法转换开关，当都为0时，B输入经过求补器不变，CI进位输入为0，CO进位输出经过异或门仍然等于其本身。可以看到其做的就是加法运算。当CO为1时（代表最后有进位）最左侧灯泡亮，表示加法计算结果大于255。
当三个“SUB”都为1时，进行的是减法运算既“X + （-Y)”，我们要得到的是-Y（B输入）的补码，B输入经过求补器取反得到输出，CI端进入表示加1，这里就巧妙的得到了B输入的补码 （这里就是将-Y的绝对值的原码取反再加1）。之后再将其与A输入相加即可得到结果。还有一点要注意的是当减数（B输入）小于被减数（A输入）时，CO端输出为1代表溢出（既减法最后一步减去100000000，或者叫忽略进位），因为SUB也为1，所以两个信号经过一个异或门输出为0，所以最左侧灯不亮代表结果是正数。相反，当CO端输出为0时，最左侧灯泡亮，代表下溢，既结果是个负数。
最后我们用一个例子来看下关于减法部分的原理。
一、减数小于被减数

3(00000011) - 2(00000010) = ?

等于求

3 + (-2) = ?

第一步：求-2的补码，既求-2的绝对值2的原码取反（11111101）再加1得11111110。在上图中就是输入B经过取反再加CI等于11111110。
第二步：3的补码（00000011）加上-2的补码（11111110）等于100000001。在上图中就是最后进位1等于CO输出（舍去）即可得到00000001。而CO与SUB均为1，经过异或门为0，灯泡不亮。
二、减数大于被减数

2 - 3 = ?

等于求

2 + (-3) = ?

第一步：求-3的补码，既求-3的绝对值3的原码取反（11111100）再加1得11111101。在上图中就是输入B经过取反再加CI等于11111101。
第二步：2的补码（00000010）加上-3的补码（11111101）等于11111111。在上图中就是最后进位0等于CO输出。而SUB为1，两个输入1、0经过异或门得1，最左侧灯泡亮，表示结果为负数。
这里结果11111111明明是255，为什么说是个负数呢？
还记得前面出现的这个图吗？

二进制对比表

我们把最高位为1的所有8位二进制数去表示-128--1了，所以11111111就是-1。
至此我们在一个电路中实现了加法与减法。

参加资料：
1、关于2的补码
2、原码, 反码, 补码 详解
3、编码:隐匿在计算机软硬件背后的语言