论圆柱与圆锥的表面积与体积

最近我们在探索圆柱与圆锥的表面积与体积，说真的，这些问题有点难，因为圆锥与圆柱是立体图形，还是个旋转体，我们要一步一步地严格的推理证明，我们做到了这一点。

第一步，我们要温故，我们回顾了以前学过的立体图形，也明白各个立体图形的表面积和体积怎么求了，又想了一下圆锥和圆柱跟长方体与正方体之间的关系，然后就是知新了，我们要探索圆锥圆柱，他们的表面积和他们的体积明确了，学习目标就开始精确部分圆锥，圆锥圆锥圆锥的表面积和体积该如何求。

圆柱：表面积

我们可以用以千球表面积的方法来求，比如这里有一个正方体，我们如何求这个正方体的表面积？可以把这个正方体展开，分成六个正方形，然后把正方形的面积求出来相加，那么圆柱的表面积也应该是如此，我们的方法是把圆柱展开，展开之后也就是两个大小同样的圆，和一个长方形，我们算出圆的面积和长方形的面积，把他们相加就是圆柱的面积了，现在我们社员的半径是r，那圆的面积就是r2兀，（r的平方乘以兀），有两个相同的圆，就是2×r2兀，现在我们就要算长方形的面积，如果我们要算长方形的面积画，需要长和宽，宽在这个原柱中就是高h，那么长是什么呢？你会发现长就是围城底面的周长，所以长就是圆的周长，圆的半径是r，周长就是2兀r，长方形的长和宽有了，就知道它的面积该怎么算了，面积也就是2兀r×h，那圆柱的表面积也就是2兀rh+2r2兀，等于说要想知道圆柱的表面积，只用知道半径和高就行了。（原稿）

原稿

圆锥：表面积

我们还是用以前的方法来求圆锥的表面积，第一步还是要有一个圆锥，然后把这个圆锥展开，如果要想知道圆锥展开后是什么图形的话，我们就要做一个圆锥，圆锥也是旋转体，那么是什么？几何图形围成圆锥的呢？我们有两种猜想，第一是三角形，第二是一个扇形，我们尝试构思一下，觉得都可以围成圆锥，所以我们必须要实地操作一下，我先画了一个扇形，又画了一个三角形，剪下来，最后扇形围成一个圆锥，所以圆锥展开以后是一个扇形，和一个圆形，圆形也就是圆锥的底面。

我们算出圆的面积和扇形的面积，然后加起来就是圆锥的表面积了，但是，要想知道圆和扇形的面积话，必须知道圆的半径和扇形的半径，有些人问圆和扇形的半径会不会一样？我们知道两点之间线段最短，我们画一个在这个圆中经过中心的线段，就是圆的直径，但圆锥是从开端用空中绕了一圈，才到了那个钟点，就说明善的直径不等于圆的直径，半径也就当然不相等，所以现在我们明白，至少需要两个信息，圆的半径和扇形的半径。

接下来就要算表面积了，圆的面积，是底面半径是r，面积就是r2兀，接下来我们看扇形的面积，扇形的半径是R，我们用大R来表示，因为扇形的半径和圆的半径不一样，我们还要知道圆心角的角度，我们设圆心角的角度是n，那么扇形的面积就是r2兀xn/360，那么把扇形的面积加圆的面积，就是圆锥的表面积，那么圆锥的表面积就是r2兀xn/360xr2兀。

但是这个法则还有一些略处，因为我们不能直接知道圆锥展开后的扇形的角度，所以我们最好用另一种方法，求扇形的面积，那就是1/2lR，l，是弧AB的长度，这种法则已经在扇形的面积中证明过了，所以是可行的，那我们现在要知道弧AB的长度了，其实胡就是圆的周长，因为是狐围城了，底面也就是缘，说明圆的周长就是弧，半径就是R，这个扇形的半径还被称作为母线，那扇形的面积就是，那么扇形的面积就是1/22兀r×R，那么圆锥的表面积就是1/22兀r×R+r2兀。

这个法则明显就比我第一个求的法子更好一些，现在我们就要一步一步求圆锥和圆柱的体积了。（原稿）

写圆锥的表面积确实有点多

圆柱：体积

其实原著跟我们求圆的面积很像，只不过圆是二维的原著是三维的，也就是原着加了一个条件高，我现在分割一个圆柱，如下图。

首先我们要有一个圆柱，肯定的它的高，底面的半径，然后分割这个圆柱，其实分的越小越好，阴谋越小就越近，似一个三角体，但是我们是做不到把应援的周长分成三角形的底，我们想象一下，分出来的就是三角体，然后把它展开，把这些三角体拼成一个长方体，我们知道长方体的体积怎么算，就是长乘宽乘高，那么这个长方体的长是多少呢？长方体的宽是多少呢？，我们在求长和宽的时候想到了圆的面积，方法一毛一样，只不过少了个高，如图五，我们们是如何组成长方形的，就是把圆的周长分割，然后拼，两个长方形的长加起来就是圆的周长，那这个长方体的长呢？，也是圆的，周长的一半，所以是1/22兀r，宽就是图中的半径，r，那么长方体的高是什么呢？，长方体的高就是圆柱的高h，三个条件都有了，那么体积是什么呢？就是长乘宽乘高，也就是1/22兀r×r×h，我们来化解一下，就是1/22兀r×r×h=r兀×r×h=r2兀h，你会发现就是圆柱的底面积乘高，这就是圆柱体积的法则。

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圆锥：体积

圆锥的体积这个嗯，有点难说，因为他也是，旋转体，但是我认为圆锥的体积和它同底面积等高的圆锥的体积有关系，于是我做了一个同底面积等高的一对圆锥和圆柱。

然后我们就去操场上弄些土，也把土弄得细点，要不然吐个吐会有奸细为一项圆锥和圆柱的体积，我们先装满圆锥，然后把圆锥上的土了，原著最后我们到了三次，差不多就把圆柱倒满了，所以可能圆锥的体积就是和他同底面积等高的圆柱体积的1/3，事实上就是这样，我们只能用物理实验来证明，不能用数学来推理，但等我们上了大学，在研究这方面时便知分晓，所以圆锥的体积就是1/3r2兀h。

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谢谢大家！！！