本周内容较多，故分为上下两篇文章。
本文为下篇。
一、内容概要
1. Anomaly Detection
- Density Estimation
- Problem Motivation
- Gaussian Distribution
- Algorithm
- Building an Anomaly Detection System（创建异常检测系统）
- Developing and Evaluating an Anomaly Detection System
- Anomaly Detection vs. Supervised Learning
- Choosing What Features to Use
- Multivariate Gaussion Distribution（多元高斯分布）
- Multivariate Gaussion Distribution
Anomaly Detection using the Multivariate Gaussion Distribution
2. Recommender System
- Predicting Movie
- Problem Formulation
- Content Based Recommendations
- Collaborative Filtering(协同过滤)
- Collaborative Filtering
- Collaborative Filtering Algorithm
- Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）
- Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorization
- Implementational Detail：Mean Normalization
二、重点&难点
Recommender System(推荐系统)
1.Predicting Movie
1）Problem Formulation
下面将以推荐电影为例来介绍推荐系统的实现。
| movie | Alice | Bob | Carol | Dave |
|---|---|---|---|---|
| Love at last | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Romance forever | 5 | ? | ? | 0 |
| Cute Puppies of love | ? | 4 | 0 | ? |
| nonstop car chases | 0 | 0 | 5 | 4 |
| swords & karate | 0 | 0 | 5 | ? |
上面的分数表示用户对该电影的评分（0~5分，？表示未获得评分数据）
为方便下面叙述，对如下符号进行说明：
- \(n_u\)：表示用户数量
- \(n_m\)：表示电影数量
- r(i,j)：如果等于1则表示用户j对电影i进行了评分
- \(y^{(i,j)}\)：表示用户j对电影i的评分
上面例子中可以知道 \(n_u=4 \quad n_m=5 \quad y^{(1,1)}=5\)
2）Content Based Recommendations(基于内容的推荐)
- 1.获取特征向量
为了实现推荐，我们为每部电影提取出了两个特征值，即x1（浪漫指数）和x2（动作指数）
| movie | Alice | Bob | Carol | Dave | x1 | x2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Love at last | 5 | 5 | 0 | 0 | 0.9 | 0.1 |
| Romance forever | 5 | ? | ? | 0 | 1.0 | 0 |
| Cute Puppies of love | ? | 4 | 0 | ? | 0.99 | 0.01 |
| nonstop car chases | 0 | 0 | 5 | 4 | 0.1 | 0.9 |
| swords & karate | 0 | 0 | 5 | ? | 0 | 1.0 |
由上表可知每部电影都可以用一组特征向量表示：
- 每一步电影都加上一个额外的特征，即 \(x_0=1\)
- 每部电影都有一个(3,1)的特征向量，例如第一部电影（Love at last）：\(x^{(1)}=[1,0.9,0.1]^T\)
对于所有数据我们有数据特征向量组为\(\{x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)},x^{(5)}\}\)
2.特征权重θ
用户j对电影i的评分预测可以表示为\((θ^j)^Tx^i=stars\)3. 线性回归预测
和线性回归一样，可以得到如下优化目标函数:
- 对单个用户而言
\[\min_{θ^{(j)}}\frac{1}{2}\sum_{i;r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \]
- 对所有用户而言
\[\min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}}\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \]
应用梯度下降：
\[当k=0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-α\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}\]
\[当k≠0，θ_k^{(j)}:=θ_k^{(j)}-α\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)}+λθ_k^{(j)}\]
2.Collaborative Filtering(协同过滤)
1）Collaborative Filtering
在之前的基于内容的推荐系统中，对于每一部电影，我们都掌握了可用的特征，使用这些特征训练出了每一个用户的参数。相反地，如果我们拥有用户的参数，我们可以学习得出电影的特征。即由θ求出x。
\[\min_{θ^{(1)},...,θ^{(n_m)}}\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{i:r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 + \frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \]
注意累计符号的上限由\(n_u\)变成了\(n_m\)
但是如果我们既没有用户的参数也没有电影的特征该怎么办？这时协同过滤就可以起作用了，只需要对优化目标函数进行改进，如下：
\[J(x^{(1)},...,x^{(n_m)},θ^{(1)},...,θ^{(n_u)}) = \frac{1}{2}\sum_{(i,j):r(i,j)=1}((θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad +\frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2 \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad+ \frac{λ}{2}\sum_{i=1}^{n_m}\sum_{k=1}^n (x_k^{(i)})^2\]
对代价函数求偏导结果如下：
\[x_k^{(i)} := x_k^{(i)} - α(\sum_{j:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )θ_k^{(j)} +λx_k^{(i)} ) \]
\[θ_k^{(j)} := θ_k^{(j)} - α(\sum_{i:r(i,j)=1}( (θ^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)} )x_k^{(i)} +λθ_k^{(j)} ) \]
协同过滤算法使用步骤如下：
- 初始 x (1) ,x (2) ,...,x (\(n_m\)) ，θ (1) ,θ (2) ,...,θ (\(n_u\)) 为一些随机小值
- 使用梯度下降算法最小化代价函数
- 在训练完算法后，我们预测\((θ ^{(j)} )^ T x^{ (i)}\) 为用户 j 给电影 i 的评分
3. Low Rank Matrix Factorization（低秩矩阵分解）
1）Vectorization（向量化）： Low Rank Matrix Factorizationv
| movie | Alice | Bob | Carol | Dave |
|---|---|---|---|---|
| Love at last | 5 | 5 | 0 | 0 |
| Romance forever | 5 | ? | ? | 0 |
| Cute Puppies of love | ? | 4 | 0 | ? |
| nonstop car chases | 0 | 0 | 5 | 4 |
| swords & karate | 0 | 0 | 5 | ? |
（同样的例子）很显然我们可以得到评分矩阵Y
\[Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0 \\ 5&?&?&0 \\ ?&4&0&? \\ 0&0&5&4 \\ 0&0&5&0 \\ \end{array} \right] \]
推出评分
\[ \begin{pmatrix} (θ^{(1)})^T(x^{(1)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(1)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(1)}) \\ (θ^{(1)})^T(x^{(2)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(2)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(2)}) \\ \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ (θ^{(1)})^T(x^{(n_m)}) &(θ^{(2)})^T(x^{(n_m)})& \cdots & (θ^{(n_u)})^T(x^{(n_m)}) \\ \end{pmatrix} \]
如何寻找与电影i相关的电影j呢？满足\(||x^{(i)}-x^{(j)}||\)较小的前几部影片即可。
2）Implementational Detail：Mean Normalization
假如增加了一个用户marsggbo，他很单纯，这5部电影都还没看过，所以没有评分数据，这是可以通过均值正则化来初始化数据，具体实现如下：
| movie | Alice | Bob | Carol | Dave | Marsggbo |
|---|---|---|---|---|---|
| Love at last | 5 | 5 | 0 | 0 | ？ |
| Romance forever | 5 | ? | ? | 0 | ？ |
| Cute Puppies of love | ? | 4 | 0 | ? | ？ |
| nonstop car chases | 0 | 0 | 5 | 4 | ？ |
| swords & karate | 0 | 0 | 5 | ? | ？ |
此时的评分矩阵为
\[Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0&? \\ 5&?&?&0&? \\ ?&4&0&?&? \\ 0&0&5&4&? \\ 0&0&5&0&? \\ \end{array} \right] \]
首先求出每行的均值（未评分不用计算）
\[μ=\left[ \begin{array} 2.5 \\ 2.5 \\ 2 \\ 2.25 \\ 1.25 \end{array} \right]→ Y= \left[ \begin{array}{cccc} 2.5&2.5&-2.5&-2.5&? \\ 2.5&?&?&-2.5&? \\ ?&2&-2&?&? \\ -2.25& -2.25&2.75&1.75&? \\ -1.25&-1.25&3.75&-1.25&? \\ \end{array} \right] \]
预测值为\((θ^{(j)})^T(x^{(i)})+μ_i\)，因为优没有评分。所以化目的函数只需要\(min\frac{λ}{2}\sum_{j=1}^{n_u}\sum_{k=1}^n (θ_k^{(j)})^2\),很显然\(θ=\vec0\)，所以新增用户评分数据可初始化为均值，即
\[Y= \left[ \begin{array}{cccc} 5&5&0&0&2.5 \\ 5&?&?&0&2.5 \\ ?&4&0&?&2 \\ 0&0&5&4&2.25 \\ 0&0&5&0&1.25 \\ \end{array} \right] \]