神奇的卡特兰数

首先看一道笔试题：

笔试题

这个题的答案是，根据卡特兰数公式，所有的输出总数为5次，减掉3(标识符不能数字开头)开头的2个，所以最终答案是3个。
那么什么是卡特兰数呢？
卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845····································
原理如下：
令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1]：h(n)= h(0) h(n-1)+h(1)h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 　　
例如：h(2)=h(0) h(1)+h(1)h(0)=1 1+11=2 　　h(3)=h(0) h(2)+h(1)h(1)+h(2) h(0)=12+1 1+21=5 　　
另类递推式： 　　 h(n)=h(n-1) (4n-2)/(n+1); 　　
递推关系的解为： h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,3,...) 　　
递推关系的另类解为： h(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)(n=0,1,2,3,...)

C语言应用：

void catalan() //求卡特兰数
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}

下面是一些大公司的笔试题
先来一道阿里巴巴的笔试题目：
16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。
答案：C8=1430，所以总数=14308！8！
腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？
答案:C3=5；所以总数为53！3！=180.
12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种?
这个笔试题，很坑爹，因为把某个递归关系隐藏得很深。
首先来问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。
用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，就对应一种方案。
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。
观察1的出现，我们考虑这一个出现能不能放在第二排，显然，在这个1之前出现的那些0，1对应的人
要么是在这个1左边，要么是在这个1前面。而肯定要有一个0的，在这个1前面，统计在这个1之前的0和1的个数。
也就是要求，0的个数大于1的个数。
OK，问题已经解决。
如果把0看成入栈操作，1看成出栈操作，就是说给定6个元素，合法的入栈出栈序列有多少个。
这就是神奇的卡特兰数！！！