题目信息
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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题目求解
读题可知一下信息：
- 两个有序数组
- 要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))
- 可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空
解法一：暴力求解
求两个有序数组合并后的中位数，第一时间想到的是暴力求解，合并并排序两个有序数组，在排序合并后的数组中求中位数，暴力求解的时间复杂度为O(m+n) ，无法满足题目中的要求，代码如下：（感觉暴力解法的思路有优化的空间，不需要将全部数据合并，只需要合并到中位数的位置即可，代码没写出来，求大佬教学）
/**
* 暴力破解：将两个有序数组组合到一个数组中，判断数组长度奇偶性，取对应中位数
* 时间复杂度：O(m+n)
*
* @param nums1
* @param nums2
* @return
*/
public static double findMedianSortedArraysByViolence(int[] nums1, int[] nums2) {
double resultMedian = 0.0;//定义返回值
int nums1Places = nums1.length, nums2Places = nums2.length, i = 0, j = 0, total = 0;
int totalPlaces = nums1Places + nums2Places;
int totalNums[] = new int[totalPlaces];
// 排序合并到 totalNums 数组
while (i < nums1Places || j < nums2Places) {
// 第一个数组已经完成，将第二个数组放入即可
if (i >= nums1Places && j < nums2Places) {
for (; j < nums2Places; j++)
totalNums[total++] = nums2[j];
break;
}
// 第二个数组已经完成，将第一个数组放入即可
if (i < nums1Places && j >= nums2Places) {
for (; i < nums1Places; i++)
totalNums[total++] = nums1[i];
break;
}
if (nums1[i] <= nums2[j])
totalNums[total++] = nums1[i++];
else
totalNums[total++] = nums2[j++];
}
// 此处注意：数组是从0开始的
if (totalPlaces % 2 == 0) // 偶数
resultMedian = (totalNums[totalPlaces / 2] + totalNums[totalPlaces / 2 - 1]) / 2.0;
else // 奇数
resultMedian = totalNums[totalPlaces / 2];
return resultMedian;
}
解法二：二分法
什么是中位数呢？在统计学中，定义如下：
将一个集合划分为两个长度相等的子集，其中一个子集中的元素总是大于另一个子集中的元素。
理解了中位数的概念后，在数组nums1中定义i，在数组nums2中定义j，将两个数组的左部分、右部分分别合并，若i+j=(nums1.length+nums2.length+1)/2，且左部分<=右部分，则中位数median = (max(left)+min(right))/2。
通过上面的结论，需要i和j保证（假设nums1[i-1]、nums2[j-1]、nums1[i]、nums2[j]均存在，后面单独讨论临界情况）：
- i + j=(nums1.length+nums2.length+1)/2;
由上公式我们可以得出j=(nums1.length+nums2.length+1)/2 - i，因为0<=i<=nums1.length，若nums1.length>nums2.length，j有可能为负数，所以我们要保证nums1.length<=nums2.length即可使用该公式；- nums1[i-1]<=nums2[j] ;
- nums[j-1]<=nums[i];
这两个公式表示，合并后的数组，左侧数据均小于右侧数据
下面梳理一下二分法会遇到的情况：
- start = 0, end = nums1.length，在[start,end)中筛选得到i;
- i = (start + end)/2，j = (nums1.length+nums2.length+1)/2 - i
- nums1[i-1] > nums2[j]
此时左部分值大于右部分，说明i偏大（数组是升序），i的搜索范围需要左移为[start,i-1)，重复步骤2；- nums1[i] < nums2[j-1]
此时说明i偏小，i的搜索范围需要右移为[i+1,end)，重复步骤2；- nums1[i-1]<=nums2[j] && nums[j-1]<=nums[i]
此时表明我们取到了合适的i和j，循环结束。
当我们找到合适的i和j后，中位数为：
- max(A[i−1],B[j−1]), 当 nums1.length+ nums2.length 为奇数时;
- (max(A[i−1],B[j−1])+min(A[i],B[j]))/2, 当 nums1.length+ nums2.length 为偶数时;
下面来讨论临界值的情况，当i=0,i=nums1.length,j=0,j=nums2.length时，nums1[i-1]、nums1[i]、nums2[j-1]、nums2[j]有可能不存在，当某些值不存在时，我们需要对这些值进行单独处理：
- i = 0时，表明min(nums1[])>max(nums2[])，此时左侧列表最大值为nums2[j-1]；
- j = 0时，表明min(nums2[])>max(nums1[])，此时左侧列表最大值为nums1[i-1]；
- i = nums1.length，表明nums1.length<=nums2.length，且min(nums2[])>max(nums1[])，右侧列表的最小值为nums2[j]
- j = nums2.length，因为nums1.length<=nums2.length，所以当j=nums2.length时，只有nums1和nums2两个数组长度相等一种情况，此时i=0，且min(nums1[])>max(nums2[])，右侧列表最小值为nums1[i]
/**
* 二分法
* 需满足条件：nums1[i-1]<=nums2[j] && nums2[j-1] <= nums1[i] && i+j = (m + n + 1)/2
* 若 nums1[i-1] > nums2[j] ，则i偏大，向左移
* 若 nums2[j-1] > nums1[i] ，则i偏小，向右移
*
* @param nums1
* @param nums2
* @return
*/
public static double findMedianSortedArraysByOptimize(int[] nums1, int[] nums2) {
// 整个过程中，我们都在移动i，使i所在的数组长度小于j所在的数组长度，可以减少循环次数
if (nums1.length > nums2.length) {
int[] temp = nums1;
nums1 = nums2;
nums2 = temp;
}
double resultMedian = 0;
int minLength = nums1.length, maxLength = nums2.length;
int start = 0, end = minLength;
int median = (minLength + maxLength + 1) / 2;// 中位数所在位置
while (start <= end) {
int i = (start + end) / 2;// [0,minLength/2]
int j = median - i;// 因为i在[0,minLength/2]范围中，minLength<=maxLength
if (i > start && nums1[i - 1] > nums2[j]) // i大了，向左移
end = i - 1;
else if (i < end && nums1[i] < nums2[j - 1]) // i小了，向右移
start = i + 1;
else {// i和j刚刚好
int maxLeft = 0;// 取左侧最大值
if (i == 0)// 临界值，说明i所在的数组最小值大于j所在的数组最大值
maxLeft = nums2[j - 1];
else if (j == 0)// 临界值，说明j所在的数组最小值大于i所在数组的最大值，因为j.length>= i.length，所以j=0时，i=minLength
maxLeft = nums1[i - 1];
else
maxLeft = Math.max(nums2[j-1], nums1[i - 1]);
if ((minLength + maxLength) % 2 == 1) {
resultMedian = maxLeft;
break;
}
int minRight = 0;// 取右侧最小值
if (i == minLength)
minRight = nums2[j];
else if (j == maxLength)
minRight = nums1[i];
else
minRight = Math.min(nums2[j], nums1[i]);
resultMedian = (maxLeft + minRight) / 2.0;
break;
}
}
return resultMedian;
}
参考文章
漫画：如何找到两个数组的中位数？