读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识

读书笔记: 博弈论导论 - 03 - 完整信息的静态博弈 预备知识

预备知识

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

知识点

• 静态完全信息博弈(static games of complete information)
  第一步：每个玩家同时并且独立的选择一个行动，（每个玩家都不知道别人的选择情况）
  第二步：根据所有玩家选择的行动，收益被分布到每个玩家。

• 完全信息博弈(Games of Complete Information)
  一个完全信息博弈要求：下面四部分是博弈中所有玩家的公共知识。
  1. 所有玩家的所有可能的行动
  2. 所有可能的结果
  3. 所有玩家的各种行动组合产生什么样的结果
  4. 每个玩家对结果的倾向

• 公共知识(common knowledge)
  一个公共知识是一个事件E，并且 (1) 每个人都知道, (2) 每个人都知道每个人都知道，像这样无限循环下去。

普通形式博弈

• 普通形式博弈(normal-form game)有下面三个特征：
  1. 一组玩家
  2. 每个玩家有一套行动
  3. 一套收益函数：每个玩家的行动组合都有一个收益值。

• 策略(strategy)
  打算完成一个特定目标的行动计划。

• 纯策略(pure strategy)
  玩家i的一个纯策略是一个确定性的（意味着没有随机性）行动计划。
  \(S_i\)用来表示玩家i的所有纯策略。

• 所有玩家的纯策略组合(a profile of pure strategies)
  \(s = (s_i, s_2, \cdots, s_n), s_i \in S_i \text{ for all } i = 1,2,\cdots, n\)
  代表在一个博弈中所有n的玩家的一组选择的纯策略组合。

• 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达
  1. 一个有限的玩家集合, \(N = {1, 2, \cdots, n}\)
  2. 每个玩家的纯策略集合的组合, \({S_1, S_2, \cdots, S_n}\)
  3. 一套收益函数, \({v_1, v_2, \cdots, v_n}\)，对于每个玩家，每一种所有玩家选择的策略组合，都有一个收益值。
     $v_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \text{ for each } i \in N $

• 普通形式博弈(normal-form game)的数学表达例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma)

  Players:\(N = {1,2}\)
  Strategy sets: \(S_i = {M, F} \ for \ i \in N\)
  Payoffs: Let \(v_i(s_1, s_2)\) be the payoff to player i if player 1 choose \(s_1\) and player 2 chooses \(s_2\)
  We can then write payoff are
  \(v_1(M, M) = v_2(M, M) = -2\)
  \(v_1(F, F) = v_2(F, F) = -4\)
  \(v_1(F, M) = v_2(F, M) = -5\)
  \(v_1(M, F) = v_2(M, F) = -1\)
  M: mum 沉默; F:fink 告密

2人有限博弈的矩阵表达

• 例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma)

		Player 2
		M	F
Player 1	M	-2, -2	-5, -1
	F	-1, -5	-4, -4

方案设想(solution concept)

• 方案设想(solution concept)
  方案设想(solution concept)是一个分析博弈的方法，用于限定出所有可能的合理结果。
  一个方案设想将导致一个预言或者处方。

• 均衡(equilibrium)
  任何一种可以产生方案设想预言的策略组合。
  也就是可以任何一种导致合理结果的策略组合。

如果用因果关系来说明，均衡是（可以导致合理结果的）因，方案设想是（可以导致合理结果的）分析方法，因果关系的公共知识。
从权衡方面来说：方案设想就是一个权衡。均衡的权衡的结果。

• 方案设想的假设条件
  1. 玩家是理性的
  2. 玩家是智力的
  3. 公共知识：“玩家是理性的”和“玩家是智力的”是所有玩家的公共知识。
  4. 自我执行：方案设想的均衡必须是自我执行的。（每个玩家都会采用一种均衡结果）
• 方案设想的评估
  1. 存在性(Existence: How often does it apply?)
  2. 唯一性(Uniqueness: How much does it restrict behavior?)
  3. 不变性(Invariance: How sensitive is it to small changes?)
• 帕累托优势(pareto dominate)
  策略组合s帕累托优势于策略组合s'，其前提条件：对于每个玩家，在策略组合s中的收益都大于等于在策略组合s‘中的收益，并且至少有一个玩家，在策略组合s中的收益大于在策略组合s‘中的收益。

\[ v_i(s) \geq v_i(s'), \forall i \in N \\ \ v_i(s) > v_i(s'), \exists i \in N \]

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题
• 读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间