稳定婚姻模型

延迟认可算法

婚姻模型

\(X\)和\(Y\)集合均有\(n\)个点

对每个\(X\)集合的点都有与\(Y\)集合匹配的优先级(没有同级)

称一个完备匹配是稳定的当且仅当不存在:

\(X\)集合内存在\(A,B\),\(Y\)集合内存在\(a,b\)

\(Aa\)匹配，\(Bb\)匹配,对\(A~b\)的优先级更高,对\(B~a\)的优先级更高

这样就会发生婚外情

性质

• 对任意一个二分图，都存在稳定的完备匹配
• 存在一个算法求出的完备匹配是关于\(X\)集合匹配最优(\(Y\)同理)的

这样的算法被称作延迟认可算法

求婚拒绝算法

延迟认可算法在稳定婚姻问题中的体现是求婚拒绝算法

男士表示\(X\)集合，女士表示\(Y\)集合

算法流程非常简单

• 对男士：

按优先级从高到低求婚

被接受就等待

无论什么时候(一开始被拒绝，被接受了再被拒绝)都继续求婚

• 对女士:

遇见比前面差的就拒绝

更优秀的就接受，并赶走前夫

不显然的，可以知道结果是关于男士愿意匹配的优先级最优状态

while(tot

婚姻稳定判定

考虑不稳定的关系到底在说什么，举个偷情例子

妻子\(M_a\)传递给丈夫\(F_a\)的爱被他传给情人\(M_b\)再被传给\(F_b\)在被传给\(M_a\)

爱就这样传回来了

事实上，爱情的网好似是无向图，但单纯为了判定偷情关系，完全可以看做男女之间的有向边,只要区分开正当关系(真实匹配边)和偷情关系(匹配优先差对象间虚拟边)

具体来说夫妻\((M,F)\),情人\((F,M)\)

若存在夫妻同在一个强连通块就不稳定