monopole和不同的量子化

monopole和不同的量子化

在弦论里，磁单极子和电子一样常见，只不过在实现的世界里，还没有被观测到。所以每次和朋友聊磁单极子的时候，朋友都说它不是physical的，其实只不过我们对于physical的定义不同罢了。从数学的角度出发，磁单极子太自然了。
考虑真空中的规范场论，数学的角度来说，这个规范场是在群论中取值的one form，对应的场强是一个2 form。在真空中，场强为0，所以规范场one form是closed的。但是这并不代表，规范场一定是平凡的纯规范。如果空间有不平凡的拓扑性质，那么虽然规范场是closed，但不一定是exact的。所以不存在一个全空间的纯规范的规范场。也就说这个规范场在空间又不连续的点。
这个不连续性就可以认为是磁单极子存在造成的。再次，用数学的语言，这个平凡的规范场是由cohomology分类的，但是我们可以用物理的语言说，是由磁单极子分类的。或者说规范场是可以支持电子也可以支持磁单极子。他们都是规范场论的解，只不过问题是并不是所有的解都可以在现实中实现，一个解的在现实的实现是一个无中生有的过程，如果没有动力学的成因，这个解就是无法实现的，即使他们是运动方程的解。这也是很长的一段时间人们不相信的黑洞的原因，虽然黑洞是广义相对论的解，但是当时人们觉得黑洞没有动力学的成因，知道奥本海默等的塌缩模型出来，人们才开始普遍的接受。
刚刚说明规范场可以支持电子和磁单极子，真正在理论上实现他们，必须存在和规范场作用的物质。最简单的模型就是规范场和一个标量场相互作用的模型。由于电和磁的对偶性，电子和磁单极子也有对偶性。也就说我们可以认为电子是基本粒子，然后磁单极子是高能的孤立子。然后围绕电子进行微扰。或者等价的认为磁单极子是基本粒子，然后电子是高能的孤立子，对磁单级子进行微扰。两种描述应该是等价的，所以我们可以认为这里有两种等价的量子化。在电磁相互作用比较弱的时候，电子更像是自由的，而当电磁相互作用比较强的时候，磁单极子更像是自由的。这种对偶性，很难证明，因为这是一个非微扰的结论，很难用物理学家熟悉的微扰法。但是如果我们可控的进行微扰，证明可能存在，而超对称理论就提供了一种可控微扰的模型，而对应的理论就是著名的Seiberg-Witten N=2的超对称理论。这里我想说明，我们可以有很多理由引入超对称。但是从理解量子场论的角度出发，超对称是一种很有效的技巧。因为量子场论本身是复杂的，要想研究他，必须简化他。一个有效的简化方法就是给他增加对称性。共性对称，弦论，拓扑场论，超对称场论都可以认为加入不同对称性的产物。而这些课题就是主流的高能理论物理研究。所以我们可以认为，现在理论物理的一个核心的问题还是理解量子场论，当然包括量子引力。