近世代数理论基础3：等价关系

等价关系

关系

设A为一个集合,R为积集合的子集,则称R为集合A上的一个关系,,若,则称a与b具有关系R,记作aRb,否则称a与b不具有关系R

等价关系

设A为一集合,R是A上的一个关系,若R满足：

自反性：,有

对称性：,若,则

传递性：,若,则

则称R为集合A上的一个等价关系,记作

例1

有理数域Q上所有柯西列构成的集合A,即

在A上定义关系：

,令

若,则定义

例2

设,定义

R是Z上的等价关系

等价类

设R为集合A上的等价关系,,与a等价的所有元组成的集合为元a所属的等价类,记作,即,a称为这个等价类的代表元

所有等价类构成的集合称为A关于R的商集,记为,即

命题

设R为集合A上的等价关系,则

证明：

(注：命题表明一个等价类可选择其中的任何一个元为代表元)

划分

设A是一个集合,是A的子集簇,其中I是某个确定的指标集,满足：

(1),有

(2)

则称是集合A的一个划分

定理：若R是集合A上的等价关系,则商集是A上的一个划分

证明：

定理：若是集合A的一个划分,则存在A上的一个等价关系R,使

证明：

(注：两个定理表明,集合的划分和等价关系是一回事)

例

令集合,,,则是A的一个划分,该划分对应的等价关系为

设为一个映射,则f可诱导出A上的一个关系R,,显然R是A上的等价关系,其商集为

f还可诱导出一个从到B的映射

定理：(1)上述是单射

(2)是双射f是满射

证明：

自然映射(典范映射)

例：设,,从A到B的一个映射f定义如下：,,则由f诱导出的等价关系为

它的商集为,其中,

映射f诱导的从集合到B的映射如下：,,显然,的定义与中元的代表元选择无关,即是良性定义,且是单射,由于f不是满射,所以也不是双射