栈的出栈顺序有多少种

题目

N个数依次入栈，出栈的顺序有多少种？

直接公式

令h(0) = 1,h(1) = 1
卡特兰数满足递推式：
h(n) = h(0) * h(n - 1) + h(n -2) + ... + h(n -1)h(0) (n >= 2)
递推关系的解为:

公式1

递推关系的另类解：

公式2

常规分析

• 首先，我们设f(n)代表序列个数为n的出栈序列种数。同时我们假设第一个出栈的序数是k。
• 第一个出栈的序数k将1_{n的序列分成两个序列；其中一个是1}k-1，序列个数为k-1；另一个是k+1~n，序列个数是n-k。
• 此时，我们若把k视为一个确定的序数，那么根据乘法原理，f(n)的问题就等价于序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n-k的出栈序列种数，即选择k这个序数的出栈组合为f(k-1)*f(n-k)。
• 而k可以选1到n，所以再根据加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为：f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + ... + f(n-1)f(0)。