数学辅导日记6:令人瞠目结舌的公式

欧拉公式

我是日记星球154号星宝宝，这是我第8篇原创日记，21天蜕变之旅第8天。

2017年 3月8日星期三 阴

有两个令人瞠目结舌的公式：一个是爱因斯坦的质能方程式，一个是欧拉公式。前者为原子弹的爆炸而强有力地证实；后则竟然用数学符号将不同寻常的五个数0（正数和负数的界限）、1（整数单位）、e（自然对数的底数）、pi（圆周率）、i（-1的平方根，虚数单位），用一个等式联系起来。

这两个公式，表明了人类的天才，如何洞察宇宙的秘密！我们今天来谈后者。

欧拉公式是欧拉研究正弦函数和无限函数的无穷级数时发现的，当时还没有严格证明级数是收敛的，欧拉确认公式是正确的！

这样他将正弦和余弦函数的级数与指数函数的级数比较得到：

Exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)

令x=pi,pi=3.1415926...,即得到：

Exp(i*pi)=cos(pi)+i*sin(pi)=-1,即：

Exp(i*pi)+1=0,这就是上面的欧拉公式。

这个公式有两个数e,pi是无理数，而且是超越数-不是整系数代数方程的解！i竟然是虚数，它的平方是-1。并且同个算式同整数1、0联系起来。

欧拉公式具有强烈的哲学意味：虚数非虚。

在中学，点的坐标对应复平面的复数，同时对应平面位置矢量，具有几何意义和物理意义，是实在的，而非虚构的。

可以将复数看成二维数组，而实数是意味数组，空间矢量对应三维数组。因而复数就是实数的自然扩展。

虚数单位I,还有另一层含义复数与i的乘积是将坐标逆时针旋转90度。在描述弹簧的振动也会出现虚数单位。卡尔丹当初为了求解方程，虚构的数，想不到还有这么多意义！

和对数的发明，将乘法运算简化为加法运算。复数的应用简化了三角函数的计算。这里就不一一提及了。

复数是一个强大的工具，复函数分析在自动工程领域，用来判定系统稳定性。在电子电工频域分析也会用到。随着计算机技术发展，时域分析常应用与仿真，但是复函数分析在时机应用方面还是有很多便利的。

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