算法系列--堆

0.引言

堆是一种比较常见的数据结构，堆排序也是面试时会经常遇到的问题，今天就分析一下堆。

1.堆结构

堆是一种类似于树的数据结构，父节点和子节点之间存在一定的关系，子节点的数量根据堆的类型来决定，最长见得就是每个父节点最多两个子节点的二叉堆。

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如图所示，我们用一个数组类模拟二叉树以构建二叉堆，从图可以看出，堆是从数组的1开始而不是0开始，这主要就是为了构建子节点和父节点的关系，我们可以很清楚的看到这种关系：leftNodeIndex=rootIndex2; rightNodeIndex=rootIndex2+1。
我们还可以发现这个堆的父节点都是大于其子节点的，这就是一个最大堆，可以用来进行从小到大的堆排序。

2.构建最大堆

构建最大堆，首先明确一个规则，堆的叶子节点的位置，假设堆的数量为N=7;
那么它的叶子节点就是 N/2+1,N/2+2,N/2+3,N/2+4,如图所示：

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那么现在假设给了一个堆数组，构建成一个最大堆，从叶子节点的上一层节点开始直到根节点进行最大堆化操作

void build_maxheap (int Arr[ ])
{
    for(int i = N/2 ; i >= 1 ; i-- )
    {
        max_heapify (Arr, i) ;
    }
}


void max_heapify (int Arr[ ], int i, int N)
{
    int left = 2*i                   //left child
    int right = 2*i +1           //right child
    if(left<= N and Arr[left] > Arr[i] )
          largest = left;
    else
         largest = i;
    if(right <= N and Arr[right] > Arr[largest] )
        largest = right;
    if(largest != i )
    {
        swap (Arr[i] , Arr[largest]);
        max_heapify (Arr, largest,N);
    } 
 }

max_heapify就是递归的将父节点和左右子节点进行大小比较，将较大的值放到父节点的位置。下图演示了一个构建最大堆的过程

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最小堆和最大堆相反，就是根节点是小于子节点的，只要将max_heapify稍加改造就可以了，就不再赘言了。

3.堆排序

说到应用了，如果给定了一个无序的数组按照从小到大排序，那么我们就可以利用最大堆的性质在O（NlogN）的时间复杂度内进行排序。
堆排序一般按照如下步骤：
1.构建最大堆。
2.交换第一个元素和最后一个元素的位置。
3.从根节点开始，进行堆最大化操作（max_heapfy),注意此时待排序节点的个数为N-1,因为第二步的时候已经排序好一个值了。
4.重复2，3步骤直到排序完成。
如果是从大到小排序，那么就用最小堆。
排序过程入下图：

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至此堆的基础知识就差不多了。

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