图的基本知识总结---特殊图

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哈密顿路问题

Euler Graph - 欧拉图详解

二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

二分图带权匹配 KM算法与费用流模型建立

先定义一下欧拉路径(有称欧拉链)和欧拉闭路（有称欧拉圈）：

1. 欧拉路径，包含图G中所有边的简单开路径。通俗的说,把所有的边遍历且仅遍历一次的通路，不会回到出发点。
2. 欧拉闭路，包含所有边的简单闭路径(简单回路)。同上含所有边、不经过重复边、但回到出发点

欧拉闭路

欧拉路径

规定平凡图是欧拉图
含有欧拉路径的图叫做半欧拉图
若G是==连通无向图==，则
1. 每个节点都是偶结点，则G是欧拉图
2. 由1)，当且仅当G有欧拉闭路，则G是欧拉图
3. 由1)、2)当且仅当G仅有两个奇结点V1、V2，则存在由V1到V2的欧拉路径。（形象的看，V1到V2再加上一条边就能由欧拉路径构成了欧拉回路，奇结点也变成偶了）
若G是==连通有向图==，则
1. 每个节点入度等于出度，则G是欧拉有向图
2. 若G是弱连通有向图，当且仅当G有欧拉闭路，则G是欧拉有向图
3. 类似无向图，当且仅当弱联通有相同G有两个节点V1、V2，有 $d_{G}^{+}(V1)=d_{G}^{-}(V1)+1 , d_{G}^{-}(V2)=d_{G}^{+}(V2)+1$ ,除此之外的结点入度等于出度，则由V1到V2存在一条欧拉路径(+是出度-是入度)
  
  如上公式，不支持插入公式

图(b)欧拉有向图，图(c)欧拉路径

具有哈密尔顿回路的图叫做哈密尔顿图，==哈密尔顿回路==：经过所有顶点且仅经过一次的回路，只谈无向图，有向图没意义

同理可得哈密尔顿路径，同上只是不回到出发点

如图

完全图必定是哈密尔顿图
充分条件：
- 无向简单图G，n个结点，每一对结点度数之和大于等于n-1，则G中含有一条哈密尔顿路；若每一对不相邻结点度数之和大于等于n，则G是一个哈密尔顿图
  
  哈密尔顿图，但不满足如上充分条件
必要条件：---------->用来判断某些图是否是哈密尔顿图
- 哈密尔顿图G的结点集V（G）任一非空子集s，都有
  $w(G-s)\leqslant \left | s \right |$ , $w(G-s)$ 指G删去s中的点后，图的连通分支数，|s|是点集s顶点的个数
  
  如上公式
由必要条件可知，哈密尔顿图不含割点