周易筮法的数学原理

周振甫《周易译注》引高亨《周易古经今注•周易筮法新考》所述筮法（略述如下）：

取49根筹子，经过三次迭代遴选操作后，去掉一部分筹子，再把余下的筹子每四根分做一组，最终组数归于四种结果：9、8、7、6。其中9为老阳，8为少阴，7为少阳，6为老阴。（这是后来以九代表阳，六代表阴的来历）。如此得到一爻。如是者六，得一卦。

所谓的遴选操作，用现代代数语言来描述，如下：设运算%是常规的取余运算，A%k代表A除以k后的余数。$是一种特殊的取余数的运算，当A%k不为0时，A$k = A%k；否则A$k = k。取任一自然数N，以及另一任意自然数A∈[2,N-2]，一次完整的遴选过程可描述为：N’ = N-1-A$k-(N-A-1)$k，即得到一个新的自然数N’，然后再作为N进行下一次遴选。

从数学上可以证明，对于任意的自然数N和A，一次遴选的结果N’，必然是k的整数倍。设N=n*k+i，A=a*k+j，B=N-1-A，可得A$k=j，而B$k=i-1-j-m*k，其中m=1-ceil((i-1-j)/k)。于是，N’=(n-m)*k。经过三次遴选后，N’’’=(n-m1-m2-m3)*k，再按k分组，得组数M=n-m1-m2-m3。

周易筮法以N=49，k=4为除数，则可以证明，m随机地取1或者2，这个随机性来自A的随机性。于是，经过三次遴选之后，M=12-m1-m2-m3。其中，m1、m2、m3是1和2的组合。于是，共有四种结果：M=12-3,M=12-4,M=12-5,M=12-6。这就是所谓的老阳“九”、少阴“八”、少阳“七”、老阴“六”。

可见，在古代，卜筮实际上是一套复杂的算数算法。值得惊叹之处在于先民是如何发现了这奇妙的算法。应该说，在这个过程中，每一爻的随机性，来自三次逐渐减弱的随机性，因为A的选择范围是逐渐缩小的，就这一点上来说，同时抛三枚铜钱的随机性，来得更均等一些。

本文作于2008年10月8日