用尺规作图作出完美的五角星（正五边形）

先说答案：

3步作出完美的五角星

原因：

正五边形的边长（当其外接圆的半径为2时）为：根号[10-2*根号(5)]

计算方法：

1. 如何正五边形的边长
   AM/OA=sin∠AOM；∠AOM=36°；
   AB=2AM；

   
   
   

   AM/OA=sin∠AOM；∠AOM=36°
   
   

   现在，问题转向了了：如何计算sin36°？

2. 如何计算sin36°
   首先作出如下图所示的特殊三角形（图中最小的角皆为36°）：

   
   
   

   图中最小的角皆为36°
   
   

   由三角形相似得：

   
   
   
   
   解得：
   
   
   
   由正弦定理得：
   
   
   
   

   解得：

   
   
   
   
   因此，外接圆半径为1的正五边形的边长为：
   
   

生成公式的代码：

\[ \frac{1}{x} = \frac{x}{x+1} \]
解得
\[ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]
接下来计算\( \sin(36^\circ)\) :
方法一：正弦定理
\[ \frac{x}{\sin 36^\circ } = \frac{x+1}{\sin 72^\circ } \]
得
\[ \sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} \]
因此，外接圆半径为1的正五边形的边长为：
\[ 2\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} \]