回顾
数学主要研究的对象是函数、运算。
在这之前，我们关注的空间基本上是函数空间或数列组成的空间，并建立了距离空间、赋范空间、内积空间、Hilbert空间的概念。
运用了类比、联想、归纳等数学研究方法，把有限维空间的代数结构和几何特征延伸、拓展到无穷维空间。
线性算子
许多数学问题，如：中学解析几何中的平移和旋转就是一些线性变换（运算）。
高等数学研究的微分、积分也都是线性运算，它们与空间中的线性变换（向量的旋转、拉伸、平移等）有很多相同的运算性质。
线性方程组、微分方程、积分方程都可以看作是特定空间中的线性运算（或者称为线性变换或线性映射）。
我们把这些称之为线性算子，线性算子是泛函分析中最重要的基本概念之一。我们将全体有界线性算子（如积分、矩阵等）看作一个线性空间，并赋予范数，成为赋范线性空间，线性算子看作赋范空间中的元素。
线性算子空间是线性泛函分析研究的主要对象。在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，解决分析、代数、几何中的问题。
在赋范空间中讨论有界线性算子的本质特征，可以得到一些很深刻的结论：
- 一致有界原则；
- 开映射定理、逆算子定理；
- 闭图像定理。
有界线性算子与有界线性泛函
有界线性算子与有界线性泛函的定义
满足性质 的运算称为线性算子。因此微分运算、积分运算都是线性算子。
定义1：设，是赋范空间，是线性子空间，是从到的映射，满足：
其中，（是数域），则称映射是从到的线性算子。称为的定义域。
注1： 一般地，是的真子集，如果，则称是从上到的线性算子。
注2：若（数），。这样的线性算子称为是线性泛函。
即线性泛函（或）是从赋范空间到数域的线性算子。
注3：从信号与系统的角度，空间其实就是系统的输入空间（输入信号），空间就是系统的输出空间（输出信号）或者变换（作用）后的空间；线性算子就是一个线性系统。
定义2：设是从到的线性算子，若存在常数，使得
则称为有界线性算子。
如果一个线性泛函是有界的，如果存在常数，使得
则称为有界线性泛函。因为泛函映成一个数，所以一个数的范数用绝对值表示。
注1：有界线性算子的有界是指映射后“放大的倍数”不超过一个常数。（元素的大小用范数衡量）
注2：由于内积可以产生范数，内积空间也是赋范空间，因此，有关赋范空间上的有界线性算子、有界线性泛函的讨论在内积空间依然成立。
注3：有界线性算子把有界集映成有界集（有界输入，有界输出）。
定义4：设，是赋范空间，是从到的线性算子，若时，，则称在点连续。
定理5：设，是赋范空间，是从到的线性算子，。如果在点连续，则在上连续。
注1：对于线性算子来说，一点连续意味着点点连续。
注2：线性算子连续意味着：
极限运算和线性算子作用可以交换顺序。
定理6：设，是赋范空间，是从到的线性算子，则是连续的当且仅当是有界的。
有界线性算子组成的赋范空间
下面我们把有界线性算子看作一个元素，构成一个新的线性空间，即由全体有界线性算子（如积分运算、矩阵运算）构成的空间。
从赋范空间的角度研究线性算子的性质。
定义7：设，是赋范空间，表示从到的全体有界线性算子。
如果，我们把简记为。
在中可以自然地定义线性运算（加法、数乘），对于任给的及，定义：
由于对加法、数乘运算封闭，因此成为线性空间。
下面我们把有界线性算子看成空间中的元素，在空间中定义有界线性算子的范数
定义8：设是从赋范空间到的有界线性算子，即存在，使得
令
称为线性算子的范数。
定理10：设是从赋范空间到的有界线性算子，则:
特别地，当，还可以定义乘法运算（记为）：
显然也是线性算子，并且：
进一步有：
定理11：设。对于任意的，定义：
则是上的有界线性泛函。
注：上的任何有界线性泛函一定可以写成上述形式，，即上的有界线性泛函可以由中的元素确定。
下面给出无穷维空间上的有界线性泛函
定理12： 设是上的连续函数，对于任意的，定义：
则是上的有界线性泛函。
注1：可以证明线性泛函的范数。
注2：特别地，若，定积分是上的有界线性泛函。
注3：不是所有的线性算子都是有界的，例如十分重要的微分算子就是一类无界算子。如，对求微分，我们有：
但是，，即是无界的。
注：微分算子是一类十分重要的无界线性算子。微分算子虽然无界，但它是闭的线性算子。闭的线性算子也有“类似连续”的很好的性质。
有界线性算子空间的收敛性与完备性
有界线性算子空间中的收敛性
由算子的范数可以诱导出算子的距离：
因此，也是一个距离空间（在空间中定义了元素距离结构），有了距离可以讨论空间中元素列的收敛性，接着就可以讨论空间完备性。
显然在中可以讨论算子列按范数的收敛性。
定义1：设，若
则称有界线性算子列按范数收敛到有界线性算子。
定理2：空间中线性算子列按范数收敛等价于线性算子列在中的单位球面上一致收敛（收敛速度与取值无关，）。
一致收敛直观解释，，使最大的点都收敛了，那么其它的点必然收敛，这是由算子范数定义决定的，算子范数取的是对所放大的最大的倍数（算子对不同取值放大倍数不同）。
进一步，算子列按范数收敛等价于在有界集上一致收敛。
在数学分析中，函数的收敛有逐点收敛、一致收敛，根据研究问题不同使用不同的收敛性。在泛函分析中，同样可以根据研究问题不同，考虑不同收敛性。
线性算子在空间中，除了按范数收敛（或称一致收敛），还可以定义其它收敛方式。
定义3：设。如果对于 ，即
则称逐点收敛到（不同收敛速度可能不同），或称强收敛到。
注：按范数收敛到（一致收敛）可推出强收敛到，反之不成立。
有界线性算子空间的完备性
有界线性算子组成的空间是一个赋范空间，于是可以讨论它的完备性。
一个赋范空间是完备的（空间）当且仅当空间中的列一定收敛。
定理5：设是赋范空间，是空间，则有界线性算子空间是空间（完备的赋范空间）。
一致有界原则
我们把线性算子抽象成线性算子空间中的元素。抽象的目的是为了使我们能更清楚地看到线性算子的一些本质特征。
在线性算子空间的框架下，研究线性运算的性质，将得到一些深刻的结论，例如：一致有界原则，开映像定理，逆算子定理，闭图像定理。这三个定理和定理（线性泛函的延拓定理）可以看作是赋范空间中线性算子理论的基石。
这三个定理刻画了空间中线性算子的重要性质。
纲定理
定义1：设是距离空间，。如果不在的任何非空开集中稠密，则称是疏集。
稠密的定义：是距离空间中的点集，如果，则称在中稠密。
注：疏集中没有内点。事实上，若是内点，则存在一个开球，那么在开球中稠密。
定义2：若集合可表示成至多可数个疏集的并，即
其中，是疏集，则称是第一纲集。不是第一纲集的集合称为第二纲集。
定理3（纲定理）：完备的距离空间是第二纲集。
推论：空间是第二纲集。
一致有界原则
对于有界线性算子，可以得到：一族点点有界的有界线性算子必定一致有界。
定理7（一致有界原则）：
设是空间上到赋范空间中的有界线性算子族。如果对于，有
则是有界集。其中属于一个指标集。
注1：“一致”指的就是对所有的都成立。
注2：定理表明，若对任意的，存在，使得
则存在一个共同的，使得
该定理的逆否命题：如果是空间上到赋范空间中的有界线性算子族，，则存在，使得
该命题称为共鸣定理。
强收敛意义下的完备性
由上节定理5可知，如果是赋范空间，是空间，则有界线性算子空间是空间。即空间中任何列都按算子的范数收敛（即当，算子范数）。
下面考虑在强收敛意义下的完备性即空间中任何列逐点收敛。
定理12：设是空间，则在强收敛意义下完备。
注：完备的含义：
- 若是中的列，则存在，，即
注：就是第次迭代后算子（模型）的输出。。
开映射定理与逆算子定理
逆算子
若对任给的（表示映射的值域），只有唯一的，使得，则称映射是单射。这时可定义从值域到的算子，并称为的逆算子。
众多数学问题，都可归结为求方程的解，即考虑是否存在、是否唯一以及是否连续（算子连续可保证解的稳定性）。
定义1（逆算子）：设是从线性空间到线性空间中的线性算子。如果存在到中的线性算子，使得
则称算子有逆算子，为的逆算子，记为。
注1：存在逆算子的充要条件是：是空间中到空间中的一对一映射。
注2：如果存在，则是唯一的。
注3：可以证明也是线性算子。
注4：。
定理2：设是从赋范空间到赋范空间中的线性算子。如果存在，使得
则存在有界的逆算子。
注1：是从到的映射，不一定是全空间，也不一定是全空间。
注2：这里并未要求有界，只要求下方有界即可。
开映射定理
定义3：设是的一个映射，若把中的任何一个开集映成中的开集，则称是开映射。
定理4（开映射定理）：设是定义在空间上到空间上的有界线性算子，则是开映射。
注1：定理要求的条件是：
注2：定理表明：当是有界线性算子时，若，都是空间，则对开集一定也是开集。
注3：注意是开映射与是连续的区别。
是开映射：把一个开集映成开集。
连续开集的原像是开的，即是开集是开集。
注4：如果线性算子是开映射，且的逆算子存在，则的逆算子是连续的，也即是有界线性算子。
逆算子定理
定理5（逆算子定理）：设是定义在空间上到空间上一对一的有界线性算子，则的逆算子存在，且是有界的。
注：是空间，是空间或第二纲集这些条件不能少。
例如：，
注意到，经变上限积分算子映过去以后不再是一个空间，因此推不出有界。
事实上，
是中的疏集（一阶可导函数的全体），不是第二纲集。
事实上是一个微分算子，是无界线性算子（微分运算不连续，会存在间断点）。
闭算子与闭图像定理
闭线性算子是一类非常重要的线性算子，它有与连续线性算子“相近”的性质（极限可以跟算子交换顺序），微分算子就是一类闭线性算子。
闭算子的定义
定义1：设是赋范空间，是从中到中的线性算子，考虑乘积空间
在该空间上定义范数：
对于任意的，令
若是空间，则也是空间。令
称集合为算子的图像（很多时候这个图像是画不出来的）。
定义2：如果在乘积赋范空间是闭的，则称是闭算子。
定理3：（闭算子的等价条件）设是赋范空间，是从到中的线性算子，则是闭算子当且仅当对及，必有。
注1：由上述定理，显然定义在全空间上的有界（连续）线性算子一定是闭线性算子。
注2：对于闭线性算子来说，在上述条件下，极限运算可以和算子交换顺序。
闭图像定理
定理4：（闭图像定理）设是空间上到空间中（不一定要映满全空间）的闭线性算子，则是有界线性算子。