三、绘制圆
圆的方程可以描述为( x - x0 )2 + ( y - y0 )2= r2 ，其中 ( x0, y0) 为圆心，r为圆的半径。为了简化问题，我们假设圆心就在坐标中心（0, 0），那么
( x0, y0 )= ( 0, 0 )，那么圆的方程为：x2 + y2= r2 。
圆心不在坐标原点时，只需要做简单的平移即可。
如上图所示，圆心处于坐标原点处，此时圆具有四条对称轴：
①x = 0、②y = 0、③x = y、④x = -y
这四条对称轴将整个圆分成了八段圆弧，设圆上一点( x, y )，其对称点分别为：
( x, -y )、( -x, y )、( -x, -y ) 、( y, x )、( y, -x )、( -y, x )、( -y, -x )
这叫做圆的八分对称性。只要我们画出八段圆弧中的一段，其余七段可利用八分对称性进行变化得到。
（一）中点画圆法
我们首先画第一段圆弧，草图如下所示，从点( 0, 0 )到( ri, ri )圆弧与线段P1P2相交于一点，M点为线段P1P2中点，假设当前点为Pi( xi, yi)，由于每次步进一个像素，因此，
M点坐标为( xi + 1, yi– 0.5 )，P1点坐标为( xi + 1, yi)，P2点坐标为( xi+ 1, yi+ 1 )。
从图上我们可以知道，下一个坐标点要么是P1，要么是P2，到底哪个点离圆弧最近，线段中点M点在圆弧与线段交点的Y坐标情况。
设圆的判别函数为：
F( x, y ) = x2 + y2 -r
我们知道，对于圆上任何一点F( x, y ) = 0，圆外的一点F( x, y ) > 0，圆内的一点F( x, y ) < 0。
我们将M点的坐标代入，如果F( xi+ 1, yi–0.5 ) < 0，说明M点在圆内，下一个点为P2，因为它离圆弧最近。如果F(xi+ 1, yi–0.5 ) > 0，说明M点在圆外，下一个点为P1，因为它离圆弧最近。设
di= F（xi+1, yi– 0.5）= (xi+1)2+ (yi– 0.5)2– r2
①若di < 0，则取P1为下一个点，即
xi+1 = xi + 1
yi+1 = yi
此时P1的下一个点的判别式为：
di+1= F（xi+ 2, yi– 0.5）= (xi+ 2)2+ (yi–0.5)2– r2
展开后将di带入可得到判别式的递推关系：
di+1 = di + 2xi+ 3
②若di > 0，则取P2为下一个点，即
xi+1 = xi + 1
yi+1 = yi – 1
此时P2的下一个点的判别式为：
di+1 = F（xi+ 2, yi– 1.5）= (xi+ 2)2+ (yi–1.5)2– r2
展开后将di带入可得到判别式的递推关系：
di+1 = di + 2(xi- yi) + 5
③在第一个象限的第一个点（0, R）时，即当i=0，x0=0，y0=r，判别式d的初始值d0：
d0= F(1, r – 0.5) = 1 – (r– 0.5)2– r2= 1.25 - r
我们对上面的推导加以整理，可以得出：对于（0, R）至( ri, ri)的圆弧，
x0 = 0，y0=r，d0= 1.25 - r
当di < 0，
xi+1= xi + 1
yi+1= yi
di+1 = di + 2xi+ 3
否则，di > 0
xi+1= xi + 1
yi+1= yi – 1
di+1 = di + 2(xi- yi)+ 5
设圆心坐标为( ∆x, ∆y )，那么相当于对圆心在坐标原点的圆进行平移( ∆x, ∆y )，设原坐标为( x, y )，与偏移后的坐标( X, Y )满足如下关系：
X = x +∆x，Y = y + ∆y
同时，其它七段圆弧满足对称关系，也可以很容易得出：
( X, -Y )、( -X, Y)、( -X, -Y ) 、( Y, X )、( Y, -X )、( -Y, X )、( -Y, -X )
上面计算判别时使用了浮点数，即d0= 1.25 – r，因此我们需要做进一步优化。
（二）Bresenham画圆法
Bresenham画圆法主要针对中点画圆法进行了改进，将d的计算放大两倍，同时将初始值改成3–2r，这样避免了浮点运算，乘二运算也可以用移位快速代替，采用3–2r为初始值的改进算法。还有一种方法是将d的初始值由1.25–r改成1–r，考虑到圆的半径r总是大于2（像素的最小单位是1），因此这个修改不会影响d的初始值的符号，同时可以避免浮点运算。
根据Bresenham算法，将d放大两倍，可得到：
x0 = 0，y0=r，d0= 3 - 2r
当di < 0，
xi+1= xi + 1
yi+1= yi
di+1 = di + 4xi+ 6
否则，di > 0
xi+1= xi + 1
yi+1= yi – 1
di+1 = di + 4(xi- yi)+ 10
（三）正负判定画圆法
在上述画法中，主要的判断依据是哪个点距离圆弧近。在像素的世界里，一个一个点将整个平面切分成了离散的网格，这些像素点要么在圆弧内，要么在圆弧外，要么在圆弧上。无论在哪，始终都是聚集在圆弧的附近，而且尽可能的近。之前的分析中我们知道，已知当前一点Pi( xi, yi)，那么下一个点可选位置有两个：P1 ( xi+1, yi)或者P2 (xi+1, yi+1)。为了确保每个点“始终都是聚集在圆弧的附近”，我们采用一种修正的方式，即：如果当前点Pi在圆内，说明当前向着圆心的方向远离了圆弧，为了修正，那么下一个点就应该选取背离圆心方向的点；如果当前点Pi在圆外，说明当前背离圆心的方向远离了圆弧，为了修正，那么下一个点就应该选取向着圆心方向的点。因此，我们可以看出，每次在选取点的时候，都是对当前点的一种修正，修正量为1个单位，要么在Y方向，要么在X方向。如下图所示：
具体的实现方式，将当前点Pi( xi, yi)代入判别式，
①当F(xi, yi）≤ 0，
取xi+1 = xi+1，yi+1= yi。即向右走一步，从圆内走向圆外。对应图（a）中的从Pi到Pi+1。
F(xi+1, yi+1）= F(xi+1，yi) = (xi+1)2+yi2-R2 = (xi2+yi2-R2)+2xi+1 = F(xi，yi)+2xi+1
②当F(xi, yi）> 0，
取xi+1 = xi，yi+1= yi- 1。即向下走一步，从圆外走向圆内。对应图（b）中的从Pi到Pi+1。
F(xi+1, yi+1）= F(xi，yi-1) = xi2+(yi-1)2 - R2 = (xi2+yi2-R2) - 2yi + 1 = F(xi，yi) - 2yi+1
对上面分析进行整理，得到
x0 = 0，y0=r，d0= 0
当di ≤ 0，
xi+1= xi + 1
yi+1= yi
di+1 = di + 2xi+ 1
否则，di > 0
xi+1= xi
yi+1= yi – 1
di+1 = di- 2yi + 1
需要注意的是：改进的中点划线算法和正负法虽然都避免了浮点运算，并且计算判别式时用到的乘法都是乘2运算，可以用移位代替，但是实际效率缺有很大差别。因为正负法并不是严格按照x方向步进的，因此就会出现在某个点的下一个点在两个位置上重复画点的问题，增加了不必要的计算，可见下图。此外，从生成圆的质量看，中点画圆法和改进的中点画圆法都比正负法效果好。
防止格式错误，下面是排好版的图片：
