家教系列16：奥数究竟学什么？

 奥数这门课程虽然在上世纪八十年代就已经开始授课，但却是在近十来年才突然火爆起来。当奥数与升学有千丝万缕的联系开始，许多父母都争先恐后的把子女送进各类教育机构学习奥数，然而许多父母并不了解奥数具体学些什么内容，更不要说了解它能对孩子产生什么影响了。

迄今为止，其实并没有任何教育专家或权威人士定义过何为奥数课程，由此可见，奥数课程是没有统一的教学大纲或课程标准的。不过这并不代表奥数课程的教学内容是零散的、不系统的。事实上，各门各派的奥数教材在内容上一直有着许多共同的主题。下面就为各位家长介绍一下小学奥数课程要学些什么。

一、研究古老而有趣的数学问题

接触过奥数的家长，你们也许会听孩子回来跟你谈论“鸡兔同笼”、“植树问题”等非常古老而有趣的数学问题，这类问题早在一千多年前就已经有人在研究了。这类数学问题能流传至今，说明它在数学领域里有着很高的思维价值。这类数学问题有一套特定的解决策略，能帮助孩子拓宽思维边界。

这是中国古代非常有名的数学问题——韩信点兵。在大学数学里，是用同余式的知识去解答。但在小学奥数里，是用有序枚举法和最小公倍数的知识来解答的。

解：从最小的数开始，按顺序列举7除余2的数。

7除余2的数有：2、9、16、23、30、37、……

从上面列出的数中寻找有没有一个是5除余3的，于是发现，23是符合要求的数中最小的一个。这样，下一个同时符合“7除余2”、“5除余3”的数，只要在23的基础上加上5和7的最小公倍数35就行了。于是我们列举出以下这些数：23、58、93、128、……。

最后一步，从上面列出的数中，寻找符合3除余2的数。经尝试，23是最小的一个，也就是说它同时符合“3除余2”、“5除余3”、“7除余2”三个条件。另一方面，23小于100，符合要求。

答：这队士兵有23人。

这题也是中国古代非常有名的“鸡兔同笼问题”，虽然用一元一次方程可以轻松解决，但过早使用方程公式来解决，会限制孩子数学思维的发散性。此题的精髓是在于用不同的方法进行解答，达到扩宽思维边界的目的。下面将用其中一种非常巧妙的算术方法来示例：

解：假设笼子里全是兔，那么一共有8×4=32（只）脚；已知的总脚数相差：32-26=6（只）。

因为我们把一些鸡都当成是兔来计算，所以脚的数目算多了，必须将某些“兔”改成“鸡”。一只兔比一只鸡多4-2=2（只）脚，所以6只脚的相差数需要用6÷2=3（只）鸡来补回，也就是说原来一共有3只鸡，那么兔的只数就是8-3=5（只）。

答：鸡有3只，兔有5只。

值得说明一下，“鸡兔同笼问题”早在2001年已经被人教版教材收录成为课程内容，只不过学习要求较低，而这两项内容在奥数课程里的学习要求会高出许多。

二、研究一类特定的思维方法

奥数课程的某些内容并不以特定的情境为主线，倒是各种各样情境下的数学问题，以一种特定的思维方法贯穿整个解答的过程。简单地说，奥数课程要让孩子们学会一系列解决数学问题的思维方法，比如逆推法、递归法、消去法、代换法等。

学过奥数的孩子就知道，原来一对兔子能生出来的小兔子对数有以下的规律：1、1、2、3、5、8、13……，这列数叫斐波那契数列。该数列从第三项开始，每一项都是通过前面两项相加得到的。这里用到的就是递归的思想方法，简称为递归法。

三、小学奥数需掌握许多重要的运算技巧

学习奥数需要有良好的运算能力，下面这道题即是此能力的体现：

解决上题要用到一种技巧叫做“裂项相消”，它的本质是“部分分式的拆分”，在初中奥数课程里也能见到它的身影。甚至到了大学数学课程，几乎所有的有理分式函数积分也要靠它才能完成。

四、小学奥数需提前学习部分代数、几何，甚至数论方面的知识

奥数课程的教学内容还有个明显的特点，就是将提前学习中学甚至大学的教学内容，在代数和数论两个领域特别明显。例如小学奥数课程对解方程的要求比校本的要求高出许多，基本与初中一年级学生的要求持平。

虽然许多复杂的奥数题，利用方程来解决的话过程会便捷许多，但需要注意的是，奥数学习强调的是思维的扩展性和发散性，方程仅是一种解题的工具，在解题时不应过度依赖，需灵活使用多种解题思想，否则将会限制数学思维的发展。

关于奥数学习知识的超前性，下面用一道需调用到齐次线性方程的知识的“牛吃草问题”进行举例：

牛吃草问题非常抽象，由于涉及一些隐藏的比例关系，用算术方法解答很难理解，可以借助方程组来解决。但这是一个齐次方程组。

解：设草地上原有草量为A，每头牛每周吃草量为x，每周草地上草的增长量为y。根据等量关系式：牛的总吃草量=原有草量+若干周后草的增长量，列出下面的方程组：

用下式减上式可以消去A，得到75x=5y，即y=15x。利用特殊值法，令x=1，y=15代入原方程组中任一个，可得到A=60。接下来要求草地的草可以供25头牛吃多少周，用算术方法就行了：

60÷（25－15）＝6（周）

答：可以供25头牛吃6周。

此外，无论是小学还是中学的奥数课程，数论知识都涉及得特别多，比如整除、公因数（公因式）、互质数（互素因式）等，这些知识只有到了大学数学专业才研究，却在奥数课程里有着重要的应用途径，绝对不能忽视！