正则表达式可以用形式化语言理论的方式来表达。正则表达式由常量和算子组成，它们分别指示字符串的集合和在这些集合上的运算。给定有限字母表Σ定义了下列常量：
（“空集”）∅指示集合∅
（“空串”）ε指示集合{ε}
（“文字字符”）在Σ中的a指示集合{a}
定义了下列运算：
（“串接”）RS指示集合{ αβ | α ∈ R，β ∈ S }。例如：{"ab","c"}{"d","ef"} = {"abd", "abef", "cd", "cef"}。
（“选择”）R|S指示R和S的并集。例如：{"ab", "c"}|{"ab", "d", "ef"}= {"ab", "c", "d", "ef"}
（“Kleene星号”）R* 指示包含ε并且闭合在字符串串接下的R的最小超集。这是可以通过R中的零或多个字符串的串接得到所有字符串的集合。
例如，{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", ... }。
上述常量和算子形成了克莱尼代数。
语法：
一个正则表达式通常被称为一个模式（pattern），为用来描述或者匹配一系列匹配某个句法规则的字符串。例如：Handel、Händel和Haendel这三个字符串，都可以由“H(a|ä|ae)ndel”这个模式来描述。大部分正则表达式的形式都有如下的结构：
选择
|竖直分隔符代表选择。例如“gray|grey”可以匹配grey或gray。
数量限定
某个字符后的数量限定符用来限定前面这个字符允许出现的个数。最常见的数量限定符包括“+”、“?”和“*****”（不加数量限定则代表出现一次且仅出现一次）：
+加号代表前面的字符必须至少出现一次。（1次、或多次）。例如，“goo+gle”可以匹配google、gooogle、goooogle等;
?问号代表前面的字符最多只可以出现一次。（0次、或1次）。例如，“colou?r”可以匹配color或者colour;
*****星号代表前面的字符可以不出现，也可以出现一次或者多次。（0次、或1次、或多次）。例如，“0*42”可以匹配42、042、0042、00042等。
匹配
圆括号可以用来定义操作符的范围和优先度。例如，“gr(a|e)y”等价于“gray|grey”，“(grand)?father”匹配father和grandfather。
上述这些构造子都可以自由组合，因此，“H(ae?ä)ndel”和“H(a|ae|ä)ndel”是相同的。
精确的语法可能因不同的工具或程序而异。
元字符
正如前面所说的，如果有点字符，那么就必须要有一个任意的字符。它不能被忽略。如果我们想到查找一个文本，其中有字符能被忽略的。换言之，我们想要一个模式可以同时匹配'seven'和'even'。对于这个我们可以使用一个?重复字符。?重复字符表示前一个字符可能出现0或者1次。
举个例子
p "even".match /.?even/
量词
标记或者组后面的量词表示前面的元素允许出现多次。
? - 0 or 1 match
* - 0 or more
+ - 1 or more
{n} - exactly n
{n,} - n or more
{,n} - n or less (??)
{n,m} - range n to m
上面是通常的量词列表。
举个例子
p "seven dig moon car lot fire".scan /\w{3}/
p "seven dig moon car lot fire".scan /\b\w{3}\b/
例子中我们想要选择这些有3个字符的单词。\w字符是一个词字符。\w{3}意味着前面的词字符出现3次。\b是边界。加上\b就意味着只匹配三个字母的单词。
举个例子2
p "color colour colors colours".scan /colou?rs?/
colou?rs?模式使u和s字符是可选的，因此我们会查找到这四个组合。
举个例子3
p "color colour colors colours".scan /\bcolor\b|\bcolors\b|\bcolour\b|\bcolours\b/
举个例子4
"22222222222".match /\A1\d{10}\Z//
举个例子5
"A23456789P".match /\d.*[a-z]|[a-z].*\d/i
i是什么意思？
正则表达式方法
前面两个例子我们对正则表达式使用了match方法，除了match之外还有其他方法也接受正则表达式参数
puts "matherboard" =~ /board/
例子：
validates :password, presence: true, format: { with: /\d.*[a-z]|[a-z].*\d/i, message: '必须包含数字和字母' }, allow_nil: true
资料来源：维基百科正则表达式