数学分析理论基础8：函数极限概念

函数极限概念

x趋于时函数的极限

定义：设f为定义在上的函数,A为定数,若,,使得当时有,则称函数f当x趋于时以A为极限,记作或

注：A的任意小邻域内含有f在的某邻域上的全部函数值

几何意义：,在坐标平面上平行于x轴的两条直线与围成以为中心线,宽为的带形区域,在直线x=M,的右方,曲线y=f(x)全部落在这个带形区域之内

设f为定义在或上的函数,当或时,若函数值f(x)能无限地接近某定数A,则称f当或时以A为极限,分别记作

若f为定义在上的函数,则

例：证明

证：

x趋于时函数的极限

定义(函数极限的定义)：设函数f在点的某个空心邻域内有定义,A为定数,,,使得时有,则称函数f当x趋于时以A为极限,记作或

例：证明

证：

例：证明

证：

例：证明

证：

定义的另一种刻画

定义：,有

另：,使得

几何意义：,在坐标平面上画一条以直线y=A为中心线,宽为的横带,则必存在以直线为中心线,宽为的竖带,使函数的图像在该竖带中的部分全部落在横带内,但点可能例外

单侧极限

定义：设函数f在上有定义,A为定数,,,使得当时有,则称数A为函数f当x趋于时的右(左)极限,记作,或

右极限与左极限统称为单侧极限,f在点的右极限与左极限又分别记为：

例：讨论函数在定义区间端点处的单侧极限

解：

定理：