逻辑学导论6

范式，命题连接词的充足集

范式

满足某种规范，并满足某种逻辑性质的命题形式

命题连接词的真值集

真值函数

参数域和结果域都是｛T,F｝的函数。每个命题连接词都是一个真值函数，因为它相当于一个函数，它的参数是｛T,F｝，结果也是。

同理每个复合命题形式也是一个真值函数

每个复合命题形式对应一个真值函数

不同复合命题形式可以对应相同真值函数

例子

p->q  和（非p）析取q

任一复合命题形式，可以用真值表得到对应的真值函数

应用

命题连接词与电路中与门，或门，非门的对应

析取范式

析取范式：有相同基本变元的基本合取式通过析取连接符连接成的命题形式

析取范式是可以化简的

基本合取式：n个基本变元或者其否定通过合取连接符连接而成的命题形式

例子

三个裁判中有两个通过，则通过

p1    p2    p3     

T      T      T      T  p1合取p2合取p3

T      F      T      T  p1合取（非p2）合取p3

T      T      F      T  p1合取p2合取（非p3）

T      F      F      F

F      F      T      F

F      T      F      F

F      T      T      T  （非p1）合取p2合取p3

F      F      F      F

步骤：

1列真值表

2把真的情况列出来它的基本合取式

3把基本合取式用析取连接起来

为复合命题形式作与之等值的析取范式

重言式，可满足式都可以作出析取范式，但矛盾式不行

转化的意义：把其它连接词转化为只有合取和析取

合取范式

n个基本析取式通过合取符号连接成的命题形式

步骤

1对命题形式求反

2写出求反后的命题对应的析取范式

3对上面的析取范式求反，得到与原始命题形式等值的命题形式

4应用德摩根律和双重否定律把上面转为合取范式

德摩根律

非（p^q）

——————            倒过来也是

（非p）v（非q）

非（p v q）

——————            倒过来也是

（非p）^（非q）

双重否定律

非（非p）

——————

p

范式存在定理：

所有命题形式都能写出对应的范式

永真式（重言式）一定能写出其析取范式

永假式（矛盾式）一定能写出其合取范式

可满足式既能写析取范式也能写合取范式

命题连接词的充足集

每个真值函数可以用一个符号（命题连接词）来表示。之前学习的是常用的命题连接词

存在多少个不同的n元真值函数？

2的（2的n次方）次方

那需要多少个命题连接词来表达那么多的真值函数？

就像二进制可以表达无限的自然数一样，有限个数的命题连接词就可以表达无限的真值函数

证明

范式存在定理：非，合取，析取

德摩根律，合取可以转化为非，析取……：非，合取；非，析取

通过真值表可以得到 合取和析取可以转化为非，蕴涵：非，蕴涵

所以充足集有

｛非，析取，合取｝

｛非，析取｝｛非，合取｝｛非，蕴涵｝

命题连接词的独元充足集

或非

符号是向下的剪头  nor

p  q    p或非q

T  T      F

T  F      F

F    T    F

F    F    T

非可以转换为或非

A或非A    非A

T      T        F

F      F        T

合取，析取也可以转为或非

（A或非A）或非（B或非B）  等同于  A ^ B

（A或非B）或非（A或非B）  等同于  A V B

与非｜nand

p  q  p|q

T  T  F

T  F  T

F  T  T

F  F  T

合取，析取也可以转为与非

（A｜B）｜（A｜B）  等同于  A ^ B

（A｜A）｜（B｜B）  等同于  A V B

与非，或非在自然语言中找不到对应，它们又叫谢弗尔竖，是命题连接词的单元素（独元）充足集

它们可对应到数字电路的或非门，与非门