二次曲线不变量

$I_{1}=a_{11}+a_{22}, I_{2}=\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{12}} & {a_{22}}\end{array}\right|, \quad I_{3}=\left| \begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{2}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{0}}\end{array}\right|$

其中
而为半不变量
可用来判断二次曲线的形状：

image.png

平面的坐标转化

对于给定坐标系中的二次曲面，我们可以通过坐标变换，使得我们所给平面为这样只需看的关系，直接用上述的不变量进行判断即可。
给定平面方程:当时 $\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} x+\frac{A}{\sqrt{A^{+} B^{2}}} y} \\ {y^{\prime}=-\frac{A C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} x-\frac{B C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} y+\sqrt{A^{2}+B^{2}} z} \\ {z^{\prime}=A x+B y+C z+D}\end{array}\right.$ 反解得 $\mathcal{T}=\left( \begin{array}{cccc}{-\frac{B}{\sqrt{A_{2}^{2}+B^{2}}}} & {-\frac{A C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {A} & {-A D} \\ {\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {-\frac{B C^{2}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {B} & {-B D} \\ {0} & {\sqrt{A^{2}+B^{2}}} & {C} & {-C D} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$
若那么
那么新的曲面方程为 $G^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1\right) \mathcal{T}^{\prime} \mathcal{A} \mathcal{T} \left( \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {z^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right)$ 由于此时那么我们只需要考察之间的关系，使用二维的不变量来判断即可。

一些可能相交情况

椭球面

方程为那么为两条虚的相交直线，为椭圆，为虚椭圆。

单叶双曲面

当为椭圆
与时为双曲线
与为两条相交的虚直线
与为抛物线
与为2条相交直线

双叶双曲面

与为虚椭圆
与为椭圆
与为两条相交的虚直线
为双曲线
为抛物线
为两条平行虚直线

椭圆抛物面

虚椭圆
两条相交虚直线
椭圆
抛物线

双曲抛物面

双曲线
两条相交直线
抛物线
两条重合直线

二次锥面

为椭圆
为双曲线
为两条相交直线
为两条相交虚直线
为抛物线
为两条重合直线

使用不变量确定平面与二次曲面的交线