一、数列:
1. 等差数列:后一项减前一项形成一个常数数列
2. 二级等差数列:后一项减前一项形成一个新的数列为等差数列
3. 二级等差数列变化:后一项减前一项形成一个新的数列,这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列或者与加减“1”、“2”的形成有关,或质数列。
(例如:20,22,25,30,37,()→2,3,5,7···二级为质数列。)
4. 三级等差数列及变化,后一项减前一项形成一个新的数列,再在这个新的数列中,后一项减去前一项形成一个新的数列,这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形成有关。
5. 等比数列:后一项与前一项的比为固定值叫做等比数列
6. 二级等比数列变化:同理
7. 典型(两项求和)和数列:前两项的加和得到第三项
8. 典型(两项求和)和数列变式:前两项的和,经过变化得到第三项,这种变化可能是加、减、乘、除某一常数;或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。
9. 三项和数列变式:前三项的和,经过变化之后得到第四项,这种变化可能是加、减、乘、除某一常数;或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。
10. 典型(两项求和)积数列:前两项相乘得到第三项
11. 积数列变式:前两项相乘经过变化之后得到第三项,这种变化可能是···(同理)
12. 典型平方数列(递增或者递减) 例如:196、169、144、()、100
13. 平方数列变化:这一数列特点不是简单的平方或者立方数列,而是在此基础上进行“加减乘除”的变化
例如:0,5,8,17,(),37→0=1*1-1,5=2*2+1,···
14. 平方数列最新变化:二级平方数列
例如:1,4,16,49,121()→1*1,2*2,4*4,7*7···
1 2 3 4
15. 立方数列:···
16. 组合数列:1.数列间隔组合:两种数列(或者多种)进行分隔组合
2.数列分段组合:(?)
3.特殊数列:整数与小数组合
17. 质数列及变式:只能被1和本身整除的数
合数列:与质数相对的即合数列
分式最简式:约分最简式的形式为某一个
二、时钟问题
时钟表盘上分为12大格,每个大格之间的夹角为360度/12=30度。每个大格又被等分为5个小格,每个小格之间的夹角为30度/5=6度。在钟表上,时针与分针是同时转动的,它们的关系是:时针走1小时转30度,分针转360度,恰好为一个圆圈。
时针每十二个小时绕钟面转一圈,每分钟走360/12/60=0.5度
分针每小时绕钟面转一圈,每分钟走360/60=6度
速度差:6-0.5=5.5度
速度和:6+0.5=6.5度
弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度,周角为2π弧度,平角(180度)为π弧度。
例题:钟表的时针和分针在4点多少分第一次重合?即21又9/11分
4点整时,分钟在12,时针在4,夹角为120度,即追及问题,
速度差*时间=追及路程,速度差为5.5度,即时间为120/5.5=21又9/11分钟
例题:从4时到5时,钟的时针和分针可成直线的机会有多大。(包括重合为180度的情况)
4时,夹角120度,5时,150度,从4时到5时,时针和分针的角度从120度减到0度(重合),再增加到180度(两针反向成一直线),再减少到150度,可知有两次成为直线。
例题:时针指示2点15分,它的时针和分针所成的锐角是多少度?
2点整,分针指向12,时针指向2,时针和分针角度为60度,到2点15分,分针走了15分钟,走了:6*15=90度,时针走了15*0.5=7.5度,所以所成的角为90-60-7.5=22.5度
例题:从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分,时钟的时针旋转的角度与分针旋转的角度之差为()弧度?
弧长等于圆半径长的弧所对的圆心角为1弧度,周角为2π弧度,平角(180度)为π弧度。
从上午十一点三十八分到当天下午一点二十三分,一共是过了105分钟,时针、分针的速度差为6-0.5=5.5度/分钟,总的角度差为105*5.5=577.5度,换成弧度,为577.5度/360*2π=10.08 (π=3.14)
三、排列、组合
1、捆绑法
解决对于某几个元素要求相邻,将相邻元素视作一个整体参与排序,然后再单独考虑这个整体内部各元素之间的顺序。(相邻、不同物体、排序)
例题:6个不同的球放在5个不同盒子中,要求每个盒子至少放一个球,一共有多少种方法? ∁_6^2 A_5^5
2、插空法
解决对于某几个元素要求不相邻的问题,先将其他元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已经排好的元素的间隙或两端位置。(不相邻,排序)
例题:5个男生3个女生排成一排,要求女生不相邻,有多少种方法?
(排多人形成空先) A_5^5 A_6^3 或者A_5^5 C_6^3 A_3^3
3.插板法
解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的策略。(元素相同,每组至少一个元素,组合问题)
例题:有9颗相同的糖,每天至少吃一颗,要4天吃完,有多少种吃法?
用3个板插入9颗形成的8个内部空隙中,分为4份,即C_8^3
综合问题:一条马路的两边各立着10盏电灯,现为了节省用电,决定每边关掉3盏,但为了安全,道路起点和终点两边的灯必须是亮的,而且任意一边不能连续关掉两盏。总共有多少种方案?
10盏关掉3盏,剩下7盏,两端的灯不能关,关掉的只能在7盏中形成的空隙中,C_6^3,两边〖(C_6^3)〗^2=400
四、求根公式:x=(-b±√(b^2-4ac))/2a
五、三个集合的容斥关系公式:
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C
参加的总人数=每项活动的人数和(含重叠)-参加两项活动的人数和(含重叠)+所有项都参加的人数
参加的总人数=每项活动人数和(含重叠)-参加两项活动人数和(不含重复)-所有项都参加的人数*2