2019-10-02 2次整环的素性分析

考虑形如:

首先给出若干定义：
1.整除

2.可逆元

3. 素数
   环R中，如果1个数字p ，如果满足：
   
   
   

4.不可约数

容易证明，素数一定不可约，但反之未必

下面为以上抽象概念举个例子，来整数环Z来说，
可逆元是 +1 和 -1
正素数 包括 2,3,5,7,11,13,17,... 以及负素数 -2,-3,-5,-7,...
Z中的不可约数就是素数，对于Z来说不可约和素是等价的

下面开始正式分析：

首先，上述定义都相对某个环而言才有意义，因此

同时，我们必须先证明一个命题，该命题在后文中会隐晦的使用到

证明完毕

证明:

则容易推导出:

根据线性代数知识：

证明完毕

综上：

立刻得到

判断其是否可逆元，计算

综上，得到定理：

下面考虑其逆命题：

全文结论可以概括为以下2个定理

当以上条件成立时，

最后，给出这2个定理的一个应用

证明: