数学分析理论基础3：函数概念

函数概念

定义：

给定两个实数集D和M(常用R代替),若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数与它对应,则称f是定义在数集D上的函数

记作

称x为自变量,y为因变量

数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y称为f在点x的函数值,常记为f(x),

全体函数值的集合称为函数f的值域

说明：

1.定义域D和对应法则f为确定函数的两个主要因素,常用表示一个函数

两个函数相同即它们有相同的定义域和对应法则

2.存在域：解析法(公式法)表示函数,函数的定义域常取运算式子有意义的自变量值的全体,称为存在域

此时函数的定义域D可省略不写,只用对应法则f表示函数,称"函数y=f(x)"或"函数f"

3.函数f给出了x轴上的点集D到y轴上点集M之间的单值对应,也称为映射

对于,f(a)称为映射f下a的象,a称为f(a)的原象

4.每一个,只能有唯一的一个y值与它对应,这样定义的函数称为单值函数

若同一个x值可以对应多于一个y值,则称函数为多值函数

表示法

三种表示法：解析法(公式法)、列表法、图像法

分段函数：在其定义域的不同部分用不同的公式表达

例：符号函数

例：f(x)=|x|

图像法表示函数的依据：

函数用有序数对的集合表示

在坐标平面上集合G的每一个元素(x,y)表示平面上的一个点,集合G在坐标平面上描绘出这个函数的图像

某些只能用语言描述的函数：

Dirichlet函数：

Riemann函数：

函数的四则运算

给定两个函数和,记,并设

定义f与g在D上的和差积运算：

若在D中剔除使g(x)=0的x值,

即令

定义f与g在上的商运算：

注：若,则不能进行四则运算

复合函数

设有两函数

记,若,则对每一个,可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而u又通过函数f对应唯一的一个值y,确定定义在上的函数,以x为自变量,y为因变量

f和g的复合函数：

记作或

f为外函数,g为内函数,u为中间变量

注：当且仅当时,f和g才能复合

反函数

设函数满足：

对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x使f(x)=y

则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数,称为f的反函数

记作

或

注：

1.f有反函数,则f是D与f(D)之间的一一映射,称为映射f的逆映射,把f(D)中每一个f(a)对应到D中唯一的一个a,称a为逆映射下f(a)的像,称f(a)为a在逆映射下的原像

2.f与互为反函数且

3.反函数习惯记法：以x为自变量,y为因变量

初等函数

六类基本初等函数：

常量函数：

幂函数：

指数函数：

对数函数：

三角函数：

反三角函数：

实指数乘幂定义

给定实数,规定

初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数

不是初等函数的函数称为非初等函数