射线与立方体相交

和立方体相交和前两个相交测试比起来略微有点难度，我们先从标准的AABB开始，了解思路之后再推到OBB的情况。

射线和AABB相交

AABB是轴向对齐包围盒的缩写，因此AABB的边界会和坐标轴平行，相较OBB起来比较简单。依旧是从2D的情况开始分析，这样连z轴都少了，如法炮制，看图说话：

![射线和正方形相交][ray-box]

相交

我们先来看相交的情况。可以这么看，包围盒的左右边界的两条直线，和ray相交，截出一条线段，交点为 tx0, tx1（我们以交点在射线上的 t 值来代替交点）。如果这条被截取的线段发生如下情况：

1. 和上下边界的直线有交点，则有交点 tx0 < ty < tx1 如下情况

• tx0 < ty0 < ty1 < tx1; (和两条边界相交)
• tx0 < ty1 < tx1; (和下边界相交，且 ty0 < tx0)，
• tx0 < ty0 < tx1; (和上边界相交，且 tx1 < ty1)
• 在上下边界的直线的区间内，可以交换着看，被上下边界截出来的线段，和左右边界有交点，然后按照情况1分析。

就说明射线和包围盒相交了，那么真正的交点应该是：

t0 = min(tx0, ty0);
t1 = min(tx1, ty1);

不相交

然而射线不会一直和AABB相交，看图中上下两条射线，tx1' < ty0' 或者 ty1' < tx0' 的时候，射线就不会相交，注意，同时成立的还有 tx0' < tx1', ty0'

1. 求出交点 tx0, tx1, ty0, ty1

• t0 = min(tx0, ty0);
• t1 = min(tx1, ty1);
• if( t1 < t0 ) 射线与包围盒不相交

计算交点。

AABB的边界和坐标轴平行，因此AABB的四条边界方程大概是这样的：

// X0、X1、Y0、Y1为常数
// 且 X0 < X1, Y0 < Y1
x = X0;    (方程1)
x = X1;
y = Y0;
y = Y1;

接下来就是联立方程了，因为 x=C 这样的方程，y是任意的，所以不太好联立，同时我们知道射线方程： P(t) = O + D·t是向量的写法，我们可以试着把向量展开，就能得到2个式子（这里我们还在假设2D情况）

Px(t) = Ox + Dx·t;     (方程2)
Py(t) = Oy + Dy·t;

联立方程1与方程2，就能得到4个交点。

tx0 = (X0 - Ox) / Dx;
tx1 = (X1 - Ox) / Dx;
ty0 = (Y0 - Ox) / Dy;
ty1 = (Y1 - Ox) / Dy;

值得注意的是， 当Dx 或者 Dy 为零，这个等式似乎不太好在代码中实施，这意味着射线的方向和轴是平行的，交点肯定是不存在的。我们得针对平行的情况单独做处理。

相交测试

if( fabs(Dx) < FLOAT_EPSILON ) //射线和Y轴平行
    return Oy < Y1 && Oy > Y0;
else ( fabs(Dy) < FLOAT_EPSILON ) //射线平行X轴
    return Ox < X1 && Ox > X0;
else
{
    tx0 = (X0 - Ox) / Dx;
    tx1 = (X1 - Ox) / Dx;
    ty0 = (Y0 - Ox) / Dy;
    ty1 = (Y1 - Ox) / Dy;
    t0 = max(tx0, ty0);
    t1 = min(tx1, ty1);
    return (t0 < t1);
}
//其实根据IEEE的特性，可以先计算1/Dx，得到一个无穷数
//再去用 invDx去乘 X0-Ox作为优化
//但是水平有限，不太好说明这个问题，而且这个优化需要依赖编译器
//等以后弄清楚了再聊

上头的测试有2个问题

1. 当Dx或者Dy为负数的时候，t0 > t1。射线反向，先交x=X1再交x=X0我们需要t0是近点，t1是远点，所以这里还需要做下符号判断。

• 当近点 t0 < 0时，说明射线是在盒子内部的，但当时 远点 t1 < 0 时候，就说明射线是在负方向与盒子相交了。

所以我们稍作修改

if(Dx < 0)
{
    tx1 = (X0 - Ox) / Dx;
    tx0 = (X1 - Ox) / Dx;
}
else
{
    tx0 = (X0 - Ox) / Dx;
    tx1 = (X1 - Ox) / Dx;
}
....//omiitted
if(t0 > t1)
    return false;
else if (t0 < 0)
{
    if (t1 < 0)
        return false;
    t0 = t1;
}
return true;

AABB code

基本到这里，2D的射线-盒子相交检测就完工了。我们试着推导到3D的情况。 当在一个平面上有相交的情况，只要在剩下的两个平面（三个轴三个平面）中的其一，用相同的办法算出有相交情况就能确定射线和立方体的相交情况了。在这种情况下需要测试三个分支代码不太好书写，所以得换个思路从不相交判断上更容易书写，下面动手实操。

class AABB
{
    GetExtend() { return Vector3(width, height, depth); }
    GetCenter() { return Vector3(Cx, Cy, Cz); }
}

float t0[3];
float t1[3];
float tmin, tmax;
bool tinit = false;
for(int i = 0; i < 3; i++)
{
    //先测试平行的情况，分别取出Dx，Dy，Dz来判断
    if( fabs(D[i] ) < FLOAT_EPSILON )
        //在区间之外
        if( fabs( O[i] - aabb.GetCenter()[i] ) > aabb.GetExtend()[i])
            return false;
    else //不平行的话，就试试算个交点
    {
        if( D[i] > 0)
        {
            t0[i] = ( aabb.GetCenter()[i] - aabb.GetExtend()[i] - O[i] ) / D[i];
            t1[i] = ( aabb.GetCenter()[i] + aabb.GetExtend()[i] - O[i] ) / D[i];
        }
        else
        {
            t0[i] = ( aabb.GetCenter()[i] + aabb.GetExtend()[i] - O[i] ) / D[i];
            t1[i] = ( aabb.GetCenter()[i] - aabb.GetExtend()[i] - O[i] ) / D[i];
        }

        //if( t1[i] < t[0] ) //这个说明碰到射线反方向了，两个都为负数才会这样
        //    return false; //这个挪到 tinit里头也能判断，同时还判断了界外

        if( tinit )
        {
            if( tmin < t0[i] ) tmin = t0[i];
            if( tmax > t1[i] ) tax = t1[i];
            if( tmin  < tmax )
                return false;
        }
        else
        {
            tmin = t0[i];
            tmax = t1[i];
            tinit = true;
        }
    }
}
if( tmax < 0 ) return false;
return true;

OBB

立方体可以用3个方向轴（就是xyz）和在在轴上的长度（就是width height depth)来定义。AABB三个轴会一直保持 x<1,0,0>, y<0,1,0> z<0,0,1>，而OBB除了三个轴向不同之外，别的都和AABB差不多的，我们的思路是把Ray射线投影到立方体的三个轴上，按照AABB的测试方法去做检测。（待续)，按照AABB往OBB的情况推导的话，有如下定义：

class Box
{
    GetAxisX()  { return Vector3(1, 0, 0); }
    GetAxisY()  { return Vector3(0, 1, 0); }
    GetAxisZ()  { return Vector3(0, 0, 1); }
    GetExtend() { return Vector3(width, height, depth); }
    GetCenter() { return Vector3(Cx, Cy, Cz); }
}

最终代码如下：

bool Intersect(const Ray& ray, const Box& box, float& t0, float& t1)
{
    int parallelMask = 0;
    bool found = false;

    Vector3 dirDotAxis;
    Vector3 ocDotAxis;

    Vector3 oc = box.GetCenter() - ray.GetOrigin();
    Vector3 axis[3] = { box.GetAxisX(), box.GetAxisY(), box.GetAxisZ() };
    for (int i = 0; i < 3; ++i)
    {
        dirDotAxis[i] = dot(ray.GetDirection(), axis[i]);
        ocDotAxis[i] = dot(oc, axis[i]);

        if (fabs(dirDotAxis[i]) < FLOAT_EPISLON)
        {
            //垂直一个方向，说明与这个方向为法线的平面平行。
            //先不处理，最后会判断是否在两个平面的区间内
            parallelMask |= 1 << i;
        }
        else
        {
            float es = (dirDotAxis[i] > 0.0f) ? box.GetExtend()[i] : -box.GetExtend()[i];
            float invDA = 1.0f / dirDotAxis[i]; //这个作为cos来使用，为了底下反算某轴向方向到 中心连线方向的长度
            if (!found)
            {
                // 这一步骤算出在轴向方向上，连线和平面的交点。
                // 这个平面的法线=轴
                t0 = (ocDotAxis[i] - es) * invDA;
                t1 = (ocDotAxis[i] + es) * invDA;
                found = true;
            }
            else
            {
                float s = (ocDotAxis[i] - es) * invDA;
                if (s > t0)
                {
                    t0 = s;
                }
                s = (ocDotAxis[i] + es) * invDA;
                if (s < t1)
                {
                    t1 = s;
                }
                if (t0 > t1)
                {
                    //这里 intersect0代表就近点, intersect1代表远点。
                    //t0 > t1，亦近点比远点大
                    //表明了 两个t 都是负数。
                    //说明了obb是在射线origin的反方向上。
                    //或者是在偏移到外部擦身而过了
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    if (parallelMask)
    {
        for (int i = 0; i < 3; ++i)
        {
            if (parallelMask & (1 << i))
            {
                if (fabs(ocDotAxis[i] - t0 * dirDotAxis[i]) > box.GetExtend()[i] ||
                fabs(ocDotAxis[i] - t1 * dirDotAxis[i]) > box.GetExtend()[i])
                {
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    //t1 < t0已经在最上头被短路了
    if (t0 < 0)
    {
        if (t1 < 0)
        {
            return false;
        }
        t0 = t1;
    }

    return true;
}