从概率角度出发的卡尔曼滤波器推导

根据《视觉SLAM14讲：从理论到实践》的P106-P107、P237-P243以及相关的概率方面的基础进行总结。以高翔博士P237-P243中公式为主线进行展开。目的是加强这个方面的联系感。

被不严谨的公式折磨死了，好难受，本文的目标：把公式解释明白，推不了先这样。

为什么要线性化？1个高斯分布，经过非线性变换之后，就不再是高斯了，所以要对非线性的进行线性化。这么理解就行。

概率P(..|..)  明白白表示即可，其他不要理解了，很难受，主要是为了和高斯分布联系起来。像公式10.11   10.13   10.14

将概率分布建模为高斯分布进行求解，这样我们只关注随机变量的均值和方差。

公式10.3    把特征点的世界坐标yj去掉之后，理解好难受。

运动方程：之前的位置估计是xk-1,给一个控制量uk,得到xk。wk是噪声。

观测方程：在估计的位置xk处观测到的空间点特征yj,得到一次观测zk,j。

公式10.4   基于比如使用里程计进行的预测，以及所有的观测来估计当前的状态xk。

公式10.5   10.4说的是后验，正比于似然乘以先验。

极大似然估计：在怎样的状态下，现在的观测数据最有可能发生。

知乎的解释：https://www.zhihu.com/question/20447622

知乎上的比较合理的解释

先验估计：现在的状态依据预测基于过去所有的观测（不包含现在的观测）！

公式10.6   10.7   10.8  有啥用，与后面都不一样 

公式10.6   不懂

公式10.7   假设公式10.6正确 

公式10.8   公式10.6第二个部分

公式10.9   运动方程和观测方程用线性方程来描述。

公式10.10   噪声服从均值为0的高斯分布

公式10.11   状态预测的均值和方差

公式10.12   状态预测的均值和方差 

公式10.13   观测的均值和方差

公式10.14   和公式10.5联系起来  为什么10.11 10.12 10.13 这么写，因为想和10.14联系起来

公式10.15   假设公式是这样的。带帽子的是后验，带横干的是先验。

公式10.16   假设公式是这样的。

公式10.17   自己设的。

公式10.18   依据10.16

公式10.19   公式10.18 等式两边右乘先验方差的逆得出公式10.19，依据10.18 假设先验方差的逆乘以先验方差等于单位阵。

公式10.20   假设是这样的。

公式10.21   除以-2、等式两边能同时除以xk?矩阵的逆的转置等于矩阵的逆？

公式10.22   公式10.23   公式10.21左乘后验方差。

公式10.24   和公式10.12 对上。先验的均值和方差

公式10.25   对不上？

公式10.26   10.23 10.19 对上 后验的矩阵和方差

公式10.27   在某一点处进行线性展开。

公式10.28   偏导数。

公式10.29   在某一点处进行一阶泰勒展开。

公式10.31   公式10.32   公式10.33   公式10.35 不懂

公式10.34   自己定义的K（卡尔曼增益）

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卡尔曼增益受噪声协方差的影响