编程之美之"不要被阶乘吓到"

问题陈述

1. 给定一个整数N，N的阶乘N!中末尾有多少个0？
2. N! 的二进制表示中最低位1的位置？

问题1的O(N²)解法

如果N! = K x 10^M, K是不能被10整除的数。
M 表示 N!的末尾有M个0。

可以看到，N!的末尾有多少个0，和N!的分解式中10的个数有关。

对 N! 进行质因数分解 N! = (2^X) x (3^Y) x (5^Z)......。

因此M只和质因数分解式中2的个数和5的个数有关。即 M = min(X, Z)

由于从1-N中，能被2整除的数出现的频率 肯定大于 能被5整除的数出现的频率。
因此，M = Z;

因此得到我们的时间复杂度O(N²)朴素的解法：

public static int numOfZeroINFactorial_1(int N){
        int res=0;
        for(int i=1; i<=N; ++i){
            int j = i;
            while(j % 5 == 0){
                res++;
                j /= 5;
            }
        }
        return res;
    }

问题1的O(N)解法

k是正整数， floor(N/k)表示 1,2,3，...., N中能被k整除的数的个数。

证明：
假设1,2,3，...., N中有m个数可以被k整除，则共有
1k, 2k, 3k, ..., mk(mk<=N)个数可以被k整除。显然，m=floor(N / k) 就是正解。

因此，M = floor(N/5) + floor(N / 5²) + floor(N / 5³) + ... 0.
该式表示，N!中含有质因数5的个数。

public static int numOfZeroINFactorial_2(int N){
        int res=0;
        while(N!=0){
            res += (N/5);
            N /= 5;
        }
        return res;
    }

问题2的O(N)解法1

问题分析

求解N! 的二进制表示中最低位1的位置。等价于 求解N!的二进制表示中最后有多少个0. 原问题的解就是0的个数加1.

将 N! 进行质因数分解 N! = (2^X) x (3^Y) x (5^Z)......后，质因数2的个数就是N!的二进制表示中最后的0的个数。

N!中质因数2的个数等于 floor(N/2) + floor(N / 2²) floor(N / 2³) + ... +0.

代码如下：

public static int solution1(int N){
        int res=0;
        while(N!=0){
            res += (N >> 1);
            N >>= 1;
        }
        return res+1;
    }

问题2的O(N)解法2

N!中质因数2的个数等于N减去N的二进制表示中1的数目

证明：
N!中质因数2的个数等于 floor(N/2) + floor(N / 2²) floor(N / 2³) + ... +0.

假设N=11011则
1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+（1）
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011 - N二进制表示中1的个数

private static int numOne(int v){
        int num = 0;
        while(v!=0){
            v &= (v-1);
            num++;
        }
        return num;
    }
res = N - numOne(N);

扩展问题1

给定整数N，判断它是否是2的方幂。

N>0 && ( (N&(N-1))==0 )