《组合数学》读书笔记 kirai 16.11.1（第七章 递推关系和生成函数）

读了组合数学的递推关系和生成函数一章，递推关系就是在求离散化的微分方程感觉做起来很嗨皮，母函数就是在用代数的手段处理一些计数问题。特点就是构造一个多项式，将多项式中的项和系数拆分出来分别表示解的可能性和解的计数。这种构造很需要数学的直觉，当然书中也给出了两种常见的母函数。一类是1,x,x^2...被称为常规生成函数；另一类是1,x,x^2/2!,...被称为指数生成函数。常规的生成函数是1/(1-x)的泰勒展开，而指数生成函数是自然指数的泰勒展开。

生成函数的形式决定了生成函数可以被看作是收敛的，因为生成函数的每一项的意义就是用来表示解的可能性，而没有其他实际意义。

转而考虑在acm中的应用，一般情况想要使用生成函数是为了获取通项公式，使用生成函数一定要计算多项式乘法，所以应当结合FFT来完成工作。当然更常规的做法是获取递推关系，进而用矩阵优化完成递推过程，还需要多做题感受他们的差异才是。