数学思维工具（三）：数形结合

数形结合的目的是利用图像将抽象的数学问题具象化。

举一个简单的例子，如何在数轴上标记出无理数的对应点。很明显，我们无法用度量的方法在数轴上标记出，因为再精确的刻度尺也只能量出有限小数，而是无限不循环小数。因此，我们只能借助其它方法。

那有什么方式可以将转化成跟有限小数或整数构成关系呢？这时候，我们应该想起直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c².如果两条直角边的长都是1的话，那么斜边的长就是.

因此，我们可以通过这个方法在数轴上标记出.

通过勾股定理找出的长度后，以原点为圆心，半径长为作圆，圆与数轴交点（原点右边）即为的对应点。

另一个例子是经典的求含有绝对值的函数最小值，如：求函数y=|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值。

当然，我们可以用分类讨论来分别讨论“x+1”、“x-2”、“x-3”的取值情况，从而去掉绝对值来求解。问题在于用分类讨论去掉绝对值的方式来求解涉及8种情况，求解过程较为繁琐。

如果利用绝对值的几何意义，通过数轴把问题转化成几何问题，则直观很多。

首先，我们要清楚绝对值表示在数轴上两点之间的距离（透彻理解概念的重要性），如在数轴上有两个点a和b（a和b表示数值），点a和点b之间的距离是|a-b|或|b-a|.

因此，|x+1|=|x-(-1)|，表示点“x”和点“-1”之间的距离；|x-2|表示点“x”与点“2”之间的距离；|x-3|表示点"x"与点“3”之间的距离。x是一个未知量，即点x是数轴上的不确定点。于是问题可以变成：点x从数轴左边向右移动，移动到哪个位置时可以令点x与点“-1”、点“2”、点“3”的距离之和最短。

下面，我将用一些案例来说明数形结合的应用。

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如果用去根号的方式来解题，我们很难把问题解答出来。但如果我们对这个函数式稍加观察，会发现其实它可以转化成平面直角坐标系中两点间距离的公式（透彻理解公式的重要性）。

假设点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（2,1），点P的坐标为（x,0）.

于是，问题转化成：在平面直角坐标系中，点P为x轴上的一点，求点P与点A、点B的距离之和PA+PB的最小值，即最短路径问题。

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我们知道，tan45°=1.要证明α+β=45°，即要证明tan(α+β)=1.怎么把tan(α+β)与tanα、tanβ构建关系，显然超出了初中的知识。

因此，我们要从另外的渠道去寻求证明的方法。

对三角函数理解透彻的学生，应该很容易想到三角函数的意义，然后从这个角度去寻找求证方法。

三角函数表示的意义是什么呢？它表示在一个直角三角形中角和边的关系。如本题给出的条件中正切值表示直角三角形中某个角的对边和邻边的比值。

知道这一点，我们就可以把三角函数形式转化成几何形式。

转化后，本题关于三角函数的问题就变成几何的问题：已知BC=2，BD=3，AB=6，AB⊥CD，求证∠CAD=45°.

大家可以自己尝试去写出求证过程。如果暂无思路，可参考下图的提示。

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我和学习见解

毕业于深圳大学经济系

一个从事股票投资钟情于商业模式研究沉迷在教育中的文学爱好者

大学毕业曾在几百位金融高材生中竞争到香港某金融机构唯一一个股票研究培训生席位。

曾于香港和深圳从事多年股票研究与投资，拥有自己的一套投资体系与哲学，尽管经历多次市场动荡，依然能获取到不菲的投资收益率，曾挑选出多个3年5倍5年10倍的大牛股，也为公司避开多个会带来惨重损失的垃圾股。

亦有过多年多个行业的创业经历。由于自身工作的经历，深知道学习能力的重要性，这是一种与成绩有关但又远不止体现在成绩上的能力。学生阶段培养起来的学习能力不仅仅是考一所好大学的武器，更是工作以后得以持续提升自我，打造竞争力，无论遇到任何问题都能让自己迎难而上，构建解决方案的必不可少的能力。

十几年来，年均阅读书籍超过50本，阅读是终身学习最重要的方式。最近几年开始进行有关学习和教育的研究，并阅读相关书籍接近100本。

学习是态度、思维和时间管理的综合体，只要做好以上三点，任何人都能成为学霸。学习的整个过程包括：接触知识——吸收概念——探索本质——总结应用范围。大部分学生只做到前两步，靠的是死记硬背的记忆方式，这是学习不好的主要原因。