31纳什均衡应用举例
案例一，库诺特（Cournot）寡头竞争模型。
这个模型可以说是纳什均衡最早的版本，它比纳什本人的定义早了100多年，在这个模型里，有两个参与人，分别称为企业1和企业2，每个企业的战略是选择产量，支付是利润，它是两个企业产量的函数。
qi表示第i个企业的产量，Ci（qi）代表成本函数，P=P（q1+q2）代表逆需求函数。
第i个企业的利润函数：
πi（q1，q2）=qi*P(q1+q2)-Ci(qi)，i=1，2
（qi*，q2*）为纳什均衡产量，则：
q1*∈argmaxπ1(q1，q2*)=q1*P(q1+q2*)-C1(q1)；
q2*∈argmaxπ2(q1*，q2)=q2*P(q1*+q2)-C2(q2)；
找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零，从而分别定义了两个反应函数（reaction function）：
q1*=R1(q2)；
q2*=R2(q1)；
反应函数意味着每个企业的最优战略产量是另一个企业产量的函数。
上面q1*和q2*两个反应函数的交叉点就是纳什均衡：q*=(q1*，q2*)，如图所示：
案例二，公共地的悲剧。
尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响，而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量。
案例三，公共物品的私人供给。
32“攻防博弈”——诺曼底登陆
这是美国普林斯顿大学1981年博弈论课程中的一道练习题，模拟诺曼底登陆：给你两个师的兵力，由你来当“司令”，任务是攻克“敌人”占据的一座城市，而敌军的守备力量是三个师，规定双方的兵力只能整师调动。通往城市的道路只有甲乙两条。当你发起攻击的时候，你的兵力超过敌人，你就获胜；你的兵力比敌人的守备兵力少或者相等，你就失败，那么，你将如何制定攻城方案？
司令”发牢骚了：“为什么给敌人三个师的兵力而只给我两个师？这太不公平，兵力已经吃亏，居然还要规定兵力相等则敌胜我败，连规则都不公平，完全偏袒敌人。”为此你也许会大为不满，来个躺倒不干。
其实，这次模拟“作战”，每一方取胜的概率都是50％，即谁胜谁负的可能性是一半对一半。你这个司令能否神机妙算，指挥队伍克敌制胜，还得看你的本事。
为什么说取胜的概率是一半对一半呢，让我们先学一点儿“纸上谈兵”。
我们来分析一下：敌人有三个师，布防在甲乙两条通道上。由于必须整师布防，敌人有四种部署方案，即：A，三个师都驻守甲方向；B，两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向；C，一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向；D，三个师都驻守乙方向。
同样，你有两个师的攻城部队，可以有三种部署方案，即：a，集中全部两个师的兵力从甲方向攻击；b，兵分两路，一师从甲方向，另一师从乙方向，同时发起攻击；c，集中全部两个师的兵力从乙方向攻击。最后的均衡是：敌方不可能把所有兵力驻守在一个方向，我方也不可能兵分两路进攻。
敌军必取B或C那样的二一布防，一路两个师，另一路一个师，而我军必集中兵力于某一路实施攻击，即a或c那样的攻击策略。这样，你若攻在敌军的薄弱处，你就获胜，你若攻在敌人兵力较多的地方，你就失败，总之，敌我双方获胜的可能性还是一样大。“司令”先生，不要躺倒不干，你不比对方吃亏。
这虽然是一个模拟的例子，却具有相当的现实意义，诺曼底战役前的情况，大体也是这个样子。当时可供盟军选择的登陆地点有两个，一是塞纳河东岸的布隆涅——加来——敦刻尔克一带，这里海峡最狭窄的地方只有几十公里，是一个理想的登陆地点；另一个地点是塞纳河西岸的诺曼底半岛，这里海面宽阔，渡海时间较长，容易被敌人发现。当时德军的总兵力是58个师，比盟军略多。所获情报表明，德军在布隆涅一带的防守兵力多于在诺曼底的防守兵力，盟军拟以诺曼底为登陆点。
跨海作战，攻方能够调动来渡海作战的兵力，通常总是比守方可以用于守备的兵力少。模拟作战中假设攻方兵力为两个师而守方的兵力为三个师，就是这样的背景。另外，渡海登陆作战，通常至少在一开始的时候，攻方要承受很大的牺牲。模拟作战中规定若攻守双方兵力相等则攻方失败，体现了这个意思。
33诺曼底战役决策的天文气象因素
诺曼底战役的战前博弈分析已如上述。如果说上述博弈分析代表参谋作业的话，最后敌方用B还是用C，我方到底用a还是用c，就得司令下决心了。的确，最后结局要由别的因素来决定。战争指挥是综合的艺术，任何一门具体的理论都不能包医百病。事实上，影响一次战役胜负因素很多，现在首先讲讲影响诺曼底战役决策的地理、气象、天文、水文因素。
6月初，正当盟军在艾森豪威尔的统帅之下，经过缜密的计算和将近一年的准备，完成将在诺曼底登陆的所谓“D日战役”即“霸王计划”部署的时候，英吉利海峡狂风怒吼，波涛汹涌，出现了历史上少有的坏天气。本来，参谋部制定的计划是在6月5日发起渡海作战，恶劣的天气迫使这一计划推迟。
在焦急之中，盟军参谋部综合分析了气象资料，预测到，在暴风雨的间隙中，只有6月6日，英吉利海峡将有一段大半天时间的好天气。艾森豪威尔当机立断，在6月4日深夜下令，改在6月6日开始执行“D日战役”。
与此同时，德军的天气预报却说，海峡将有连续几天的恶劣天气，估计盟军无法进行渡海作战这样庞大的联合行动。艾森豪威尔决心在6月6日发动“D日战役”，当然有铤而走险的成分。如果6月5日前后这一段时间错过，他又要等很长时间。可是，几十万部队、几千艘舰船、上万架作战飞机，是经不起长时间集结待命的。古代中国兵法和战例就有“一鼓作气，再衰三竭”的说法。集结时间太长，战斗力一定会大受影响。其次，长时间这么大规模的集结，保密工作也一定变得十分困难。
为什么错过了6月5日前后这一段时间就一定要再等待很长时间呢？这就和战役要求以及天文、水文条件有关了，按照计划，发起攻击的当天，盟军的三个空降师将在凌晨二时左右降落在欧洲大陆。这段时间，需要夜色黑暗来掩护空降及空降后最初的集结运动。另一方面，上万艘舰船借夜色隐蔽横渡英吉利海峡后，却要求在黎明前时分接近海岸时，有比较好的月光，以便观察清楚德军在海上设置的障碍物。6月5日前后这三天，正是月亮在黎明前光线较好的日子。这段日子错过，就要再等一个月了。
德军在欧洲大陆西海岸沿线的浅滩上，设置了很多障碍物。船舶误入障碍，就会被撞伤或者被卡住。这样一来，盟军登陆的时间还必须选择在海水低潮的时间。因为潮水低，障碍物暴露在水面上，就可以在一定程度上防止船舶的损伤。6月5日前后黎明前正是低潮，错过了这段时间的话，单单是等待下一个黎明前低潮的时间，就要半个月。
34诺曼底战役中的反间谍故事
除了上面讲过的地理、气象、天文、水文等因素以外，情报因素更是至关重要。如果希特勒确知盟军将从诺曼底发起攻击，当然会重兵把守诺曼底，纳粹德国说不定可以多苟延残喘一些日子。
如果德军知道盟军将在6月初发起攻击，前线司令隆美尔就不会在这个时候回柏林晋见希特勒，让整个西线处在毫无戒备的状态。事实上，“D日战役”的实施，就差一点败在一个打入盟军司令部的德国间谍手下。
5月29日，艾森豪威尔将军下令打印“D日战役”文件。文件打印以后40分钟，情报人员发现原来规定只打印4份的文件，实际上打印了5份，并且这第5份已经不翼而飞。经过紧张调查，才确认这是d小姐干的，她巧妙地把打印命令上的4字改为5字，并且盗走了那多印的一份。当盟军反间谍人员赶上并击毙d小姐的时候，她距离和同伙接头的地点，只剩了不到一小时的路程。
6月6日凌晨两点，盟军三个伞兵师空降到德军防线后面。接着，盟军的飞机和军舰猛烈轰击德军的防御阵地。清晨6点半，盟军的第一批地面部队终于在法国西北部的诺曼底地区登陆。经过激烈的战斗，盟军156000人占领了诺曼底滩头。三个星期以后，盟军才最后巩固了自己的阵地。这就是第二次世界大战中著名的诺曼底战役。
1944年的德国，虽说已经开始走下坡路，但是当年横扫欧洲大陆的余勇犹存，而且还掌握着欧洲大陆的全部资源，力量还是很大。可是，由于德军参谋部气象预测等错误，盟军发起攻击的时候，德军的司令不在前线，整个防备比较松懈，所以让盟军占了先机。但是即使这样，动用几十万部队几千艘舰艇和上万架作战飞机的盟军，也需要再苦战三个星期才最终巩固了在诺曼底的胜利，那么我们可以设想，如果德军的参谋工作好一点，不给盟军以“攻其不备”的优势，战事的进行，恐怕就不是这个样子。至少，反法西斯同盟方面，可能要承受更大的牺牲。
35诺曼底登陆的启示
启示：诺曼底登陆是世界军事史上的空前壮举，盟军各路大军满怀信心顺利东进，苏联大军反攻而迅速西进，使德国腹背受敌，从而决定了其彻底失败的命运。至此，第二次世界大战进入了粉碎纳粹德国的最后决战阶段。
“形人而我无形”：“形人”就是使对手的机动兵力变成僵化的摆设阵势，一举一动都在我掌握之内；而我“无形”就是兵力保持机动状态，使敌人无法做出正确的判断。
诺曼底登陆就是一个“形人而我无形”、“攻其不备，出其不意”的成功战例。尽管德军早就知道盟军一定会在法国沿岸登陆，并派出间谍刺探盟军作战计划，但一直未能获得准确情报。盟军的情报战更高一筹，不但保守了机密，同时还通过利用双料间谍传递假消息、在加来对岸部署假军营、让当时被解职的马顿抛头露面等手段，大放烟雾弹，使德军如堕五里雾中。
另一方面，准备充分。盟军对德国军队的防御部署却比较了解。不但成功破译了德军的密码系统（二战时期，许多天才数学家参与了这一工作，如冯·诺伊曼），还有法国抵抗组织和秘密特工源源不断的传送情报，而且还通过早期的佯攻探明了敌军防御重点。
在掌握战场气候、环境信息方面，盟军也走在了德军前面：登陆作战开始时，德国指挥官隆美尔元帅没在现场，因为他得到的情报是“天气恶劣，盟军无法进攻”。于是他决定趁此机会回国治病，并争取希特勒给他增派援军。然而，盟军的气象专家却更准确的预测到6月6日天气将好转，当隆美尔得知登陆战开始时，他叹息道：“我真蠢！”
启示：一只山猪在大树旁勤奋地磨獠牙，狐狸看到了，好奇地问它，既没有猎人来追赶，也没有任何危险，为什么要这般用心的磨牙。
山猪答道：“你想想看，一旦危险来临，就没有时间磨牙了，现在磨利，等到用的时候就不会慌张了。”