数学分析理论基础5：数列极限概念

数列极限概念

数列

定义：若函数f的定义域为,则称或为数列

数列f(n)可写作,简写作,其中为通项

收敛数列及其极限

数列极限的定义：

设为数列,,使当时有

则称数列收敛于a,称a为数列的极限

记作或

若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列

例：证明,其中

证：

例：证明,其中

证：

法二：

例：证明,其中

证：

例：证明

证：

数列极限的另一种刻画

定义：,若数列在外至多有有限项,则称数列收敛于a

若,使数列有无穷多项落在外,则不以a为极限

例：证明和都是发散数列

证：

例：设,,作数列为,求证：数列收敛的充分必要条件是a=b

证：

例：设为给定的数列,为对增加、减少或改变有限项后得到的数列,证明：数列与同时收敛或发散,且在收敛时两者极限相等

证：

无穷小数列与无穷大数列

定义：若,则称为无穷小数列

定理：数列收敛于a的充要条件是为无穷小数列

定义：若数列满足,,使得当时有,则称数列发散于无穷大,记作,或

注：若,则称是一个无穷大数列或无穷大量

定义：若数列满足,,使得当时有,则称数列发散于正(负)无穷大,记作,或(或)

注：无界数列不一定是无穷大量,如