数量积与向量积+空间中曲面和曲线2018-02-25

上次学习了数据结构的内容，感受是全部是C语言代码，硬看理解起来很慢，半年或一年内的目标是选择一门或两门课程持续性学习，因此开始学习高数的第一章剩下的3节4节，看了一些例题，但题做的还是少，掌握的不够透。

数量积与向量积：
定理 1 ：（数量积的运算符）

1）交换律：α · β = β · α；
2）结合律：λ（α · β）=（λa）· β = a ·（λβ）,其中 λ 是数量；
3）分配律：（α + β）· γ = α · γ + β · γ 由公式2得
（α + β）· γ = | γ | · Prj r （α + β）= | γ | · Prj r α + | γ | · Prj r β = α · γ + β · γ;

定理 2 ：（向量垂直与数量积的关系）

向量 α 与 β 相互垂直的充分必要条件是 α · β = 0 （规定：零向量与任何向量垂直）
证 ：必要性 设 α 与 β 相互垂直. 如果 α = 0 或 β = 0，则 | α | = 0 或 | β | = 0，此时必要性成立；如果 α 与 β 都是非零向量，垂直时它们的夹角 φ = φ／2，于是 α · β = | α | · | β | · 0 = 0，必要性也成立。

定理3 : （向量积的运算律）

1）反交换律： α x β = - （β x α）;
2）结合律：λ（α x β）=（λa）x β = a x（λβ）,其中 λ 是数量；
3）分配律：γ x（α + β）= α x γ + β x γ

定理4:（向量积与向量的平行的关系）

两个向量 α 与 β 相互平行的充分必要条件是：α x β = 0

空间的曲面和曲线：

定义1:（曲面方程）

给定曲面S与三元方程 F(x,y,z) = 0 ,且已知方程的解集非空.若曲面S 与方程有下述关系
1）曲面S上的点都满足方程F(x,y,z) = 0 ，即S上任何点的坐标都是解
2）解都放在S上，即任何解 x,y,z 所对应的点P(x,y,z)都在S上，则称方程F(x,y,z) = 0 为曲面S的方程。
定理：
给定方程F(x,y,z)=0 和 G（x,y,z）= 0,它们的解集非空，分别设为Ωf,Ωg.
1）这两个方程表示同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方程，即Ωf = Ωg；
2）如果Ωf ⊂ Ωg，即G(x,y,z) = 0 的解集包含了 F(x,y,z) = 0 的解集，则 F(x,y,z) = 0 表示的曲面是G(x,y,z) = 0表示的曲面的一部分。

定义2：（旋转曲面）

一条平面曲线C绕在它所在平面的一条直线L旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面，其中曲线C称为旋转曲面的母线，直线L称为旋转曲面的旋转轴。

定义3：（母线平行与坐标轴的柱面方程）
平行于定直线 L 并沿定曲线C移动的直线j所生成的曲面为柱面，动直线j在移动中的每一个位置为柱面的母线，曲线C称为准线。

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