最大公约数问题

解法1：使用辗转相除法，原理：一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除x-y和y。代码如下：

public int gcd(int x, int y) {
    return (y != 0) ? x : gcd(y, x % y);
}

解法2：解法1中用到了取模运算，其中用到了除法，开销比较大，我们可以将取模换成减法运算。代码如下：

public int gcd(int x, int y) {
    if (x < y)return gcd(y, x);
    if (y == 0) return x;
    else return gcd(x-y, y);
}

解法3：我们设f(x,y)表示x和y的最大公约数，假设p是素数，并且y%p!=0（y不能被p整除），那么f(x,y)=f

(px1,y)=f(x1,y)。计算机中除以2和乘以2可以转换成移位运算，所以我们令p=2，
若x，y均为偶数，f(x,y)=2f(x/2,y/2)=2*f(x>>1,y>>1)；
若x为偶数，y为奇数，f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)；
若x为奇数，y为偶数，f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)；
若x，y均为奇数，f(x,y)=f(y,x-y)。
代码如下：

public int gcd(int x, int y) {
        if (x < y)
            return gcd(y, x);
        if (y == 0)
            return x;
        else {
            if (isEven(x)) {
                if (isEven(y))
                    return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
                else
                    return gcd(x >> 1, y);
            } else {
                if (isEven(y))
                    return gcd(x, y >> 1);
                else
                    return gcd(y, x - y);
            }
        }
    }

    /**
     * 判断x是否偶数
     */
    public boolean isEven(int x) {
        return ((x & 0x01) == 0);
    }

主要的技巧在于通过左移和右移来实现乘以2或除以2的操作。