MST——最小生成树系列

什么是树？

树是一个联通的,无环的无向图，称一个不可能联通的无向图为森林；
如果一个图是树，则其边数等于点数减一，两顶点之间路径唯一，添边成环，反之亦然；

最小生成树

对于无相连通图G的一个子图，如果它是包含G所有顶点的树，它就是G的一个生成树；生成树是包含无相连通图中所有顶点的极小连通子图；各边权重总和最小的生成树称为最小权重生成树，简称最小生成树。

kruskal算法

1.按照权重从小到大给边排序
2.把图中所有的边删掉再按顺序一条条的试着向图中一点点加边
3.加边同时并查集维护连通性，如果一条边的两个端点已经连通，则这条边不在最小生成树中
4.重复以上步骤，直到最后一条边
5.时间复杂度O(E*logE)，简介快速的算法，适合稀疏图

kruskal也只有在结合了并查集的情况下才能说得上是高效的算法

并查集

一种找小蝌蚪找爸爸的算法，首先把每个点的父亲设置成自己，之后依次按照加边的顺序更新父亲的值；如果两个点父亲值是一样的，那么这条边就不加，到最后扫一次所有点父亲的值就能知道是不是连通所有的点了

并查集算法核心代码

//初始化
for(int i=1;i<=n;i++)
  father[i]=i;
//寻找节点编号并压缩路径——非递归实现
int Find(int x){
  while (father[x]!=x)  x=father[x];
  return x;}
//寻找节点编号并压缩路径——递归实现
int Find(int x){
  if(father[x]!=x)  return Find(father[x]);
  else              return x;}
//合并两个合集
void unionn(int x,int y){
  x=Find(x);y=Find(y);
  father(y)=x;}
//判断元素是否属于同一合集
bool judge(int x,int y){
  x=Find(x);y=Find(y);
  if(x==y)  return true;
  else      return false;}

例题区：
亲戚(relation)*待整理
团伙(group)*待整理
家谱(gen)*待整理

Prim算法

和克鲁斯卡尔算法差不多，相当于一个贪心类型的吧；
1.把所有的点分成处理过的和还未处理的
2.任选一个点加入到处理完了的点的合集里
3.找到连接两个合集的最短边，将其加入到最短路中，相连的未处理点加入到处理完了的点的合集中，标成端点
4.给每个点一个权值，来表示从和它关联的处理过的点出发到这个点的最短边权(初始设置为无穷)
5.遍历未处理的点，将其中权值最小的加入，更新和它相连的端点
6.重复直到所有点都处理完
7.时间为O(V^2)，适用于稠密图

//核心代码

次小生成树

后续更新中，需要请等待~

——by某瓜皮蒻蒻作者