线性代数基础知识

1. 行列式的计算

• 对角化

• 按行/列展开

  
  
  

2. 行列式的性质

   
   
   
   
   

   |AB| = |A||B| = |B||A| = |BA|
   |A| = 0，A称为奇异矩阵，否则A称为非奇异矩阵。

3. 行列式与线性方程组的关系

   
   
   
   
   
   

4. 矩阵转置

   
   
   

5. 矩阵的逆
   ( A | E )→( E | A^-1)
   矩阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0。
   若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆，且(AB)^-1 = B^-1A^-1
   若A可逆，则A^T可逆，且(A^T)^-1 = (A^-1)^T
   |A^-1| = |A|^-1

6. 旋转矩阵

   
   
   

7. 矩阵相关概念

• 相抵：如果矩阵A可以经过一系列初等行变换和初等列变换变成矩阵B，则称A与B是相抵。
• 相合：对两个n阶方阵A和B，若存在一个可逆方阵P，使得B = P^TAP，则称B和A为实相合。相合是相抵的一种特殊情况，因此AB相合→rank(A) = rank(B)。
  对称方阵：A = A^T
  反对称方阵：A = -A^T
  设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz> 0，称M为正定矩阵。

8. 特征值和特征向量
   对于方阵A，若Aα = λα，则λ称为A的特征值，α为A对应于特征值λ的特征向量。
   满足| λE -A | = 0的λ都是A的特征值；
   方程( λE -A )x = 0的任意非零解向量都是对应于λ的特征向量。
   性质：

• A与A^T具有相同的特征值。

• 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

  
  
  

9. 线性方程组
   n元非齐次线性方程组 Ax = b

• 无解的充要条件：R(A) < R(A, b)
• 有唯一解的充要条件：R(A) = R(A, b) = n
• 有无限多解的充要条件：R(A) = R(A, b) < n

10. 向量组
    向量组A和向量组B等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)