Reference:

《视觉SLAM十四讲》
http://www.cs.toronto.edu/~gwtaylor/publications/nips2006mhmublv
https://github.com/asheshjain399/RNNexp/tree/srnn/structural_rnn/CRFProblems/H3.6m/mhmublv/Motion

基础概念

外积（外积的方向垂直于两个向量）

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left\| \begin{matrix} \mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k} \\ a_1 & a_2& a_3\\ b_1 & b_2& b_3 \end{matrix} \right\|=\left[ \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & -a_3& a_2\\ a_3 & 0& -a_1\\ -a_2 & a_1& 0 \end{matrix} \right]\mathbf{b}$
即有

这里的为反对称符号，提供了一个向量到矩阵（反对称矩阵，Skew-symmetric）的对应关系。

1、旋转矩阵

坐标旋转成
于是有
$\left[ \begin{matrix} e_1, e_2, e_3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} e_1', e_2', e_3' \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_1' \\ a_2' \\ a_3' \end{matrix} \right]$
进一步，有
$\left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} e_1^{T}e_1'&e_1^{T}e_2'&e_1^{T}e_3'\\ e_2^{T}e_1'&e_2^{T}e_2'&e_2^{T}e_3'\\ e_3^{T}e_1'&e_3^{T}e_2'&e_3^{T}e_3' \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_1' \\ a_2' \\ a_3' \end{matrix} \right] \triangleq \mathbf{R}\mathbf{a}'$
这里的就称为旋转矩阵（且为正交阵）。

特殊正交群（SOG, Special Orthogonal Group）

考虑带平移的旋转：

引入齐次坐标，则有
$\left[ \begin{matrix} \mathbf{a'} \\ 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \mathbf{R} & \mathbf{t}\\ \mathbf{0^T} &1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{a} \\ 1 \end{matrix} \right] \triangleq \mathbf{T}\left[ \begin{matrix} \mathbf{a} \\ 1 \end{matrix} \right]$
这里为变换矩阵，也是正交阵。

特殊欧式群（SEG, Special Euclidean Group）

2、旋转向量与欧拉角

任何旋转可以由一个旋转轴和一个旋转角来刻画。
于是考虑用一个向量与旋转轴一致，而长度等于旋转角，这个向量就是旋转向量，只需要一个三维向量表示即可，该向量也是后面会提到的李代数。

罗德里格斯公式（Rodrigues's Formula）

旋转向量旋转矩阵

其中为反对称符号。
$\begin{align} \mathbf{tr}(\mathbf{R})&=\cos\theta\mathbf{tr}(\mathbf{I})+(1-\cos\theta)\mathbf{tr}(\mathbf{n}\mathbf{n}^T)+\sin{\theta}\mathbf{tr}(\mathbf{n}^{\wedge})\\ &=3\cos\theta+(1-\cos\theta)\\ &=1+2\cos\theta \end{align}$
p.s. 其中用到了反对称矩阵Trace为0。

于是有，

因为是旋转轴，则

即转轴是旋转矩阵特征值为1对应的特征向量。

比起旋转向量，欧拉角（三个轴的旋转参数）会更加直观，不过会遇到万向锁的问题。且不适合插值和迭代。

3、四元数

旋转矩阵用9个量描述3个自由度，但是具有冗余性；欧拉角和旋转向量虽然紧凑，但是具有奇异性。

复数的乘法表示了复平面上的旋转。
四元数是一种扩展的复数。紧凑没有奇异性。

且满足

简记为：

进一步，用单位四元数（可以表示三维空间任意旋转）。
假设某个旋转是绕单位向量进行了的旋转，则这个旋转的四元数可以表示为：

反之，也可以从单位四元数求对应的旋转轴和夹角：

注意到每加，就变成。即每个旋转可以由两个互为相反数的四元数表示。

P.S. 四元数的逆为

其中，为四元数共轭，虚部取相反数。

四元数表示旋转

设一个三维点以及一个由轴角指定的旋转，令得到的。

将三维空间点用一个虚四元数表示

则将这个点按旋转，有对应这个旋转的四元数：

可以验证，旋转后得到

旋转后的也为纯虚四元数，三个虚部分量即为旋转后的3D点。

四元数&旋转矩阵

对应的旋转矩阵：

假设矩阵，则四元数为

小结

特殊正交群（SOG, Special Orthogonal Group）
特殊欧式群（SEG, Special Euclidean Group）

李代数

考虑旋转矩阵，且满足

进一步假设为随时间的旋转.

关于时间求导：

即

可以看出是一个反对称矩阵。于是可以找到反对称的三维向量满足

右乘，有

令，且，做泰勒展开即有

由其可知反应了的导数性质，故称它在SO(3)原点附近的正切空间上。
即有，且初始条件为, 即可解微分方程得：

结论：给定某个时刻的，我们就能求得一个，它描述了在局部的导数关系。
这里的实际上是一种李代数。

的元素是三维向量或者三维反对称矩阵：
它与SO(3)的关系由指数映射给定：

$\mathcal{se}(3)=\left\{\mathbf{\xi}=\left[\mathbf{ \begin{matrix} \mathbf{\rho} \\ \mathbf{\phi} \end{matrix}}\right]\in\mathbb{R}^6, \mathbf{\rho}\in\mathbb{R}^3, \mathbf{\phi}\in\mathcal{so}^3, \mathbf{\xi}^{\wedge} = \left[\begin{matrix} \mathbf{\phi}^{\wedge}&\mathbf{\rho} \\ \mathbf{0}^T & 0 \end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^{4\times4}\right\}$

推导

这里的是三维向量，令它的模长和方向为、。令为长度为1的方向向量，则有
通过推导可得

Lie group & Lie algebra

基础概念

外积（外积的方向垂直于两个向量）

1、旋转矩阵

特殊正交群（SOG, Special Orthogonal Group）

特殊欧式群（SEG, Special Euclidean Group）

2、旋转向量与欧拉角

罗德里格斯公式（Rodrigues's Formula）

3、四元数

四元数表示旋转

四元数&旋转矩阵

小结

李代数

推导

你可能感兴趣的:(Lie group & Lie algebra)

Lie group & Lie algebra

基础概念

外积 （外积的方向垂直于两个向量）

1、旋转矩阵

特殊正交群（SOG, Special Orthogonal Group）

特殊欧式群（SEG, Special Euclidean Group）

2、旋转向量与欧拉角

罗德里格斯公式（Rodrigues's Formula）

3、四元数

四元数表示旋转

四元数&旋转矩阵

小结

李代数

推导

你可能感兴趣的:(Lie group & Lie algebra)

外积（外积的方向垂直于两个向量）