【笔记】微分几何

研究生最后的一年多一直在研究的就是Finsler几何及其上的物理。
　　然后就一直感觉这货似乎很不直觉。。。
　　最让人感觉反常的，就是相比黎曼几何，芬斯勒几何中的内积不是定义在切丛上的，而是定义在节丛上的，这个很不自然。
　　所以，就一直在考虑怎么从一种完全不同的角度来搞这个问题。
　　这就是一份相关的记录。

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假定我们已经有了微分结构，但还没有度量结构。
　　那么此时我们可以获得什么呢？
　　协变矢量V^μ与逆变矢量A_μ肯定是可以有的，所以我们可以获得各种逆变协变以及混合张量。我们也依然有协变基矢和逆变基矢的对偶关系n_i^μn^j_μ=δ_i^j。
　　由于协变矢量与逆变矢量的对偶性，我们可以认为它们不过是同一个东西的两种不同表述，所以不妨就用“矢量”来代替。
　　矢量在切空间中的表示就是协变矢量，而在余切空间中的表示就是逆变矢量。
　　在只有微分结构为没有度量结构的时候，我们还可以定义一种“场”，便是在每一点上都可以将TM(m, n)中的元素映射到TM(p, q)中，即可以将一个m阶协变n阶逆变的张量映射到一个p阶协变q阶逆变的张量，或者采用之前的对偶之后的观点来说，便是将一个m+n阶张量映射为一个p+q维张量。
　　在坐标变换下，上述内容都可以具有明确的变换规则而不会引起歧义。
　　但，比较有趣的是如果是非坐标变换，比如对已一般的映射F: TM(1)→TM(1)，似乎就很难推广到任意的TM(m, n)→TM(p, q)上，除非映射是线性映射，那么可以在操作意义上找到合理的外推。

下面，在这样的空间上引入度量结构，且不要求该度量是黎曼的，从而可以是芬斯勒度量。

度量和内积的关系是非常有意思的。
　　可以说，内积包含了度量，因为矢量V^μ与自身的内积就是它的模长的平方，这是内积与度量的契合点：〈V^μ, V^μ〉=|V^μ|²。
　　在传统的Finsler几何中，从度量到内积的获取方法是这样的：

　　对于黎曼度量，上市左侧的度规张量只是位置x ^μ的函数，从而和矢量y ^μ无关，因此流形切空间中矢量的内积只和切空间所在位置的度规张量相关，也就是说内积是定义在切丛上的。
　　但在Finsler几何中，左侧的度规张量不但和位置x ^μ相关，还与矢量y ^μ相关，从而现在矢量之间的内积不但和参与内积的两个矢量以及切空间所在位置相关，还与某个第三方的矢量相关，从而内积是定义在其节丛上的，而非切丛。
　　通过简单的推演我们可以知道，如果要保证传统内积的定义，那么只能将内积放到节丛上，从而此问题无法避免。
　　但，内积的定义本身是从经验中得来的，而原本的经验中定义在切丛还是节丛上并没有明确的说明，虽然经验中都是定义在切丛而非节丛上的，所以我们可以适当地放弃某些既定经验，特别是没有写成文的经验，来构造一个定义在节丛上的内积。
　　可，反过来说，我们也可以放弃一些既定的成文经验，从而选择另一条路。
　　这么一来，问题就很有趣了——假定内积不是对称的，会如何？

从纯几何直观来说，内积可以被表达为这么一个东西：
　　矢量V₁^μ在矢量V₂^μ方向上的投影长度与V₂^μ长度的积，就是V₁^μ和V₂^μ的内积。
　　采用这个几何直观的定义，在黎曼几何中，我们容易证明V₁^μ到V₂^μ的内积和V₂^μ到V₁^μ的内积是相同的，从而内积是对称的。
　　但，在Finsler几何下，这种对称性就被打破了：

　　在这个定义中，“投影”被定义为从V ₂ ^μ的端点到V ₁ ^μ上某一点的距离最短，则该点就是V ₂ ^μ到V ₁ ^μ的投影位置。值得注意的是，对于最一般化的Finsler流形，上述的方向如果反过来的话，将给出截然不同的定义结果，因为在最一般化的Finsler度量中，并不要求如下等式的成立：

　　当然，我们还可以选择将上述定义做一个“代数化”，考虑一个无穷小变化，从而V ₁ ^μ变化到V ₂ ^μ=V ₁ ^μ+dV ^μ，那么此时上述内积的定义在无穷小范围内可以被表达为更加简洁的形式：

在Riemann几何中，上述两种形式的定义是等价的。
　　如上定义后，我们自然就获得了从V ₁ ^μ到V ₂ ^μ的内积的定义，且这样定义的内积虽然是非对称的，但却符合几何直观——虽然几何直观这个要求在真正的几何学看来是一个无稽之谈，但我个人认为比将内积从切丛搬到节丛要靠谱。
　　现在内积为一个TM(1)×TM(1)→TM(0)的映射（并非从TM(2)→TM(0)的映射），并记为〈V ₁ ^μ, V ₂ ^μ〉。这样的内积不满足对称性，而且一般也不满足双线性，因为它是高度方向依赖的——这也是Finsler几何和Riemann几何最大的区别，Riemann几何从可以在局部通过坐标变换来变成Minkowski几何，后者是方向无关的。但非Riemann的Finsler几何无论如何都不可能通过坐标变换变成Minkowski几何，从而也就必然是方向依赖的了——在传统Finsler微分流形中，这种方向依赖性体现在内积被定义在节丛上，从而我们始终都需要一个第三方矢量来作为“依赖方向”，而现在这种方向依赖性体现在内积算符的非对称与非双线性上。

在此基础上，我们自然可以在余切丛上也定义内积，只要通过协变矢量与逆变矢量的对偶性即可。
　　可是由于内积本身强烈依赖于矢量，从而对于张量来说就不存在内积的合理外推。
　　事实上，在Riemann几何中，内积原本是定义在TM(1)×TM(1)上的，但由于其将内积外推到了度规张量，后者的意义远较“内积”本身宽泛与丰富，从而使得TM(m)→TM(m-2)的映射成为可能。
　　因此，度规本身是一个比内积具有更丰富内涵的几何实体。
　　而现在，我们所有的不过是一个二目算符〈,〉: TM(1)×TM(1)→TM(0)，从而并不能做如此简单的外推，因为这个算符既然不满足线性要求，那就不能通过简单的空间直积来获得推广。
　　为此，对于张量的“缩并”（原意是TM(m, n)指定两个指标缩并以获得TM(m-1, n-1)，这里给予了拓展）必须采用和内积不同的定义方式，并保证在回到Riemann几何后可以退化到Riemann几何的结果。
　　对这样的“缩并”目前个人认为比较合适的是通过对指标球的积分来获得，只不过对于积分体元来说，似乎还没有给出一个较好的定义。
　　很显然，在继内积失去对称与双线性这两个重要特性后，度规张量也失去了定义，而缩并也就与内积分道扬镳了。这里充满了各种陷阱，每一个都很有可能是的这种内积的定义方式失效，从而只能回到将内积定义在节丛从而继续保持对称性与双线性的优点但同时不得不引入第三方矢量的缺点，这个Finsler微分流形的老路上来。

有了内积后，我们自然要问这么一个问题：现在的联络是什么？
　　所谓联络，是将某点切空间中的矢量输运到邻点切空间中的一个映射，从而可以被这么标记：

　　我们可以进一步认为联络对切空间中的矢量来说是线性的，从而就有：

　　在如何确定联络的具体形式方面，Riemann几何采用的适配条件是对度规张量的协变微分为零。可我们现在没有度规张量，从而只能采用另一种定义方式。
　　另一方面，在传统的Finsler微分几何中，我们可以注意到在很大一类Finsler流形上，连接两点的自平行曲线（即通常所说的“直线”）和连接两点的最短曲线很可能不是同一条直线，也就是说在Finsler流形上一般不存在“连接两点最短的是直线”这样的几何直观与几何经验。可如果我们要求这点继续保持，会怎么样呢？
　　要求这点继续保持，就等于是说要求自平行曲线必须是极值曲线，即下面两个方程必须同时成立：

　　这样，引入辅助0阶齐次对称张量

以及度量F是一阶齐次的，我们可以给出联络：

进一步，利用预设联络对V来说是线性的，引入上述辅助张量的逆：

以及辅助-1阶齐次张量：

我们可以有：

如果进一步考虑到这里矢量V ^μ作为方向存在从而不应该显含其对坐标的微分，那么上面的结果可以利用C _μνλ的-1阶齐次的特性而得到结果：

　　可见，定义依赖于输运方向的线性的联络函数还是可以成立的。
　　这里，联络的第一部分和传统Riemann几何上的克氏符是相同的，而第二部分中的-1阶齐次张量在Riemann几何中恒为零，从而是Finsler几何上所特有的部分——这点在传统的Finsler几何中也是如此。
　　更有趣的是，由于-1阶齐次函数的特性，我们可以知道这第二部分其实可以乘上一个任意的参数n而不改变结果，因此现在联络事实上可以写为：

这里的第二部分在形式上很容易让人想起Riemann几何中的扰率，但本质上这两者却是很不相同的，我们事实上还可以引入一个独立的反对称张量T ^μ _νλ与V ^μ的积T ^μ _νλV ^λ来作为扰率存在而不影响结果。
　　由于联络现在依赖于方向，从而联络对于输运方向一般是非线性。但对于输运的矢量却是线性的，从而这样的联络可以对各种张量定义（协变张量的协变微分这里已经给出，而逆变张量的协变微分则可以通过对偶性得到）。而且，也由于联络对输运方向是非线性的，从而现在天然地就会出现扰率（而无需引入上述提及的反对称扰率张量）：

这里后面的含有联络的部分变给出了扰率算符：

　　显然，现在扰率的出现是由于度量的方向依赖性而自然引入的，并不需要如Riemann几何中那样额外地给出与度规无关的反对称部分作为扰率。
　　进一步我们可以定义Riemann曲率张量：

进而有：

可以看到，现在原本是张量的扰率和曲率，现在都成了张量性算符，即一旦给出方向，便可以给出由这两个方向所确定的一个矢量或者张量。
　　如果我们有了缩并算子，那么就可以利用Riemann曲率算符给出Ricci曲率算符R_μ(A^μ)，接着再利用缩并算子来给出Ricci曲率标量。
　　从形式上来说，现在线性部分表示切丛纤维之间的映射，而作为函数参数的两个方向则完全是流形上的，从而将纤维和底流形在形式上加以了区分。
　　相比传统Finsler微分几何，我们发现很多依赖于第三方矢量而定义的曲率张量都消失了，比如Flag曲率等等。
　　但也不能说什么收获都没有，毕竟现在所有的几何都定义在切丛上，从而现在如果做物理的话，意义也就更明确了——我们在传统Finsler微分几何中并不确定这第三方矢量的物理意义是什么，只能给出各种假定。

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嗯，大致就整理成这样了吧。

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