求root(N, k) 快速幂取模的应用

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问题描述

N=2000000000)

输入描述

每组测试数据包括一行，x(0

输出描述

输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值

示例

• 输入

  4 4 10
  

• 输出

  4
  

分析推导

1. 首先将 N用k进制表示 展开：

N = a₀ + a₁ * k + a₂ * k² + ··· + a₀ * kⁿ

2. 则，N' 表示如下：

N' = a₀ + a₁ + a₂ + ··· + a_n

3. 则 N - N' 表示如下：

N - N' = a₁ * (k - 1) + a₂ * (k² - 1) + ··· + a_n * (kⁿ - 1)

4. 证明 (N - N') % (k - 1) = 0

由等比数列求和公式有: 1 + k + k² + ··· + k^{n - 1} = (1 - kⁿ) / (1 - k)

∴ kⁿ - 1 = (k - 1) * (1 + k + k² + ··· + k^{n - 1})

∴ (kⁿ - 1) % (k - 1) = 0

又∵ N - N' = a₁ * (k - 1) + a₂ * (k² - 1) + ··· + a_n * (kⁿ - 1)

∴ (N - N') % (k - 1) = 0

5. 递推归纳

令 N' = N₁, N" = N₂, ···

则有：

    (N - N₁) % (k - 1) = 0

    (N₁ - N₂) % (k - 1) = 0

    ...

    (N_{r - 1} - N_r) % (k - 1) = 0

    其中 N_r 为我们要求的结果

将上面的各个递推公式相加得到：

    (N - N_r) % (k - 1) = 0

∴ N_r = N % (k - 1)

6. 得出结论

root(N, k) = N % (k - 1)

快速幂取模算法

点我查看

算法实现

此算法实现基于上面数学推得到的结论，以及快速幂取模算法

#include 

using namespace std;

long root(long x, long y, int k){
    long ans = 1;
    k -= 1;
    x %= k;
    while(y != 0){
        if(y & 1)
           ans = (ans * x) % k;
        y >>= 1;
        x = (x * x) %k;
    }
    return ans == 0 ? k : ans;
}

int main(){
    long x, y;
    int k;

    while(cin >> x >> y >> k)
        cout << root(x, y, k);
}