[noip模拟]数字对

数字对

【题目描述】

小H是个善于思考的学生，现在她又在思考一个有关序列的问题。

她的面前浮现出一个长度为n的序列{ai}，她想找出一段区间[L, R](1 <= L <= R <= n)。

这个特殊区间满足，存在一个k(L <= k <= R)，并且对于任意的i(L <= i <= R)，ai都能被ak整除。这样的一个特殊区间 [L, R]价值为R - L。

小H想知道序列中所有特殊区间的最大价值是多少，而有多少个这样的区间呢？这些区间又分别是哪些呢？你能帮助她吧。

 

【输入格式】

第一行，一个整数n.

第二行，n个整数，代表ai.

 

【输出格式】

第一行两个整数，num和val,表示价值最大的特殊区间的个数以及最大价值。

第二行num个整数，按升序输出每个价值最大的特殊区间的L.

 

【样例输入1】

5

4 6 9 3 6

 

【样例输出1】

1 3

2

 

【样例输入2】

5

2 3 5 7 11

 

【样例输出2】

5 0

1 2 3 4 5

 

【数据范围】

30%: 1 <= n <= 30 , 1 <= ai <= 32.

60%: 1 <= n <= 3000 , 1 <= ai <= 1024.

80%: 1 <= n <= 300000 , 1 <= ai <= 1048576.

   100%: 1 <= n <= 500000 , 1 <= ai < 2 ^ 31.

 

【思路】

题不是很难，就是可能一些细节注意不到或者优化想不到

 

我拿到题后的第一反应是一个数组f[i][j][k]表示从i开始的j位来记录这个区间的最小值和最大公约数

随便举一些例子就不难发现，其实要满足条件的区间，整除的那个数是这个区间最小而且是最大公约数

那么题就简单了，就是求最小值和最大公约数相同的区间，然后找到区间最大的并输出左端点

 

我们之前定义了一个f[i][j][k]，然后结合一起的知识，我们不难有一个大胆的想法

就是用RMQ来处理这个小小细节，表示为gcdn[i][j]是从i位开始的2^j位这个区间的最大公约数

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 minn[i][j]是从i为开始的2^j位这个区间的最小值

这里一想出来，接下来就是区间的最大长度了。。。这个简单，枚举一下这个长度然后找gcd和min相同的区间

当然，枚举，不存在的，直接二分就行了。。。。另外一提，这题非常容易超时

所以我来提几个细节

 

1.在RMQ时的外循环，不能循环到int类型的边界，而是要根据n来定义，循环到log₂n次（注意不要搞成根号n了），j是代表2^j次方

2.在表示2^j次方不要直接用函数pow，要用位运算，位运算的时间消耗更小。。。

只有这样才不会超时

 

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 #include
 6 #include
 7 #include
 8 #define maxn 500005
 9 using namespace std;
10 int gcdn[maxn][32],minn[maxn][32],n,m,a[maxn];
11 int gcd(int a,int b){
12     if(b==0)return a;
13     else return gcd(b,a%b);
14 }
15 void rmq(){
16     for(int j=1;j<=(int)log2(n);j++){
17         for(int i=1;i<=n;i++){
18             int new_=pow(2.0,j)+i-1;
19             if(new_>n)continue; 
20             minn[i][j]=min(minn[i][j-1],minn[i+ (1<<(j-1))][j-1]);
21             gcdn[i][j]=gcd(gcdn[i][j-1],gcdn[i+ (1<<(j-1))][j-1]);
22         }
23     }    
24 }
25 int ans[maxn],num,val,len;
26 void change(int l,int r,int n){
27     if(l==r)return;
28     int mid=(l+r)>>1;
29     int j=log2(mid+1);
30     for(int i=1;i<=n-mid;i++){
31         int a1,a2;
32         a1=min(minn[i][j],minn[i+mid- (1<1][j]);
33         a2=gcd(gcdn[i][j],gcdn[i+mid- (1<1][j]);
34         if(a1==a2){
35             num++;ans[num]=i;
36         }
37     }
38     if(num==0)change(l,mid,n);
39     else{
40         val=mid;len=num;
41         num=0;change(mid+1,r,n);
42     }    
43 }
44 int main(){
45     scanf("%d",&n);
46     for(int i=1;i<=n;i++){
47         scanf("%d",&a[i]);
48         gcdn[i][0]=minn[i][0]=a[i];
49     }
50     rmq();
51     change(0,n-1,n);
52     printf("%d %d\n",len,val);
53     for(int i=1;i<=len;i++){
54         printf("%d ",ans[i]);
55     }
56 } 

View Code

 

总结：

1.对于区间的最值一类问题，可以用RMQ解决

2.pow函数的使用要注意pow出来的值是浮点数，而且pow函数里的第一个数必须是浮点数，比如要求2^j，就是pow( 2.0, j )，当然这个细节是因为cena里会编译错误，自己是不会报错的

3.能用位运算就尽量用位运算，特别是循环中会多次执行一个语句，换成位运算后可以大大省下时间

4.注意区分一下log2和sqrt，两个出来的值不同，比如log2(64)=6,sqrt(64)=8，初中数学，相信就不用解释了