记一道高中概率题

某日，深夜，外甥女发来贺电：

当掷5个硬币时，已知至少出现2个正面，则正好出现3个正面的概率是多少？当时我就呵呵呵了，因为这个就涉及到概率论中灰常重要的贝叶斯法则了。

贝叶斯法则这个东西其实说起来非常实用，就是在我们已知一些问题的情况下，推测另外的事情发生的可能性。推导过程我就不写了随便一个介绍贝叶斯的文档都有，我们直接来看结论：

P(B|A) = P(A|B). P(B) / P(A) 

这个式子的含义就是：在已知B的情况下，A发生的概率（也就是式子中的P(A|B)）,等于已知A发生的情况下B发生的概率乘以A事件发生的概率，除以B发生的概率。是不是特别绕？我们来看看用这坨东西咋解这道高中数学题：

在此令 

A事件为：至少出现2次正面

B事件为：正好出现3次正面 

那么P(A) = 1 - P(出现0次正面) - P(只出现1次正面) = 1 - （1/2）^5 - C(5,1) / 2^5 = 13 / 16 

P(B) = C(5,3) / 2^5 = 5 / 16

P(A|B) = P(已知正好掷出3次正面 ， 至少掷出2次正面的概率) = 1 

那么P(B|A) = 1* 5/16 / 13/16  = 5 / 13 

以上

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我想说的是：

首先，这个结果比较违反我们直观猜测。可能正常人都会觉得这个事情发生的可能性比较小，但是没想到还是挺大的。关于概率论违反常规感受的问题，其实有个更著名的例子，就是三门问题（monty hall 问题）有机会的话可以详细说说这个问题。

其次，这道题也说明了贝叶斯定理是多么好用，反正我自己是没想出来不依靠贝叶斯定理，硬怼的解法....（有机会也可以说说这个）