300. 最长上升子序列

300. 最长上升子序列

最长递增子序列的长度

暴力求解

略

动态规划

一个错解

定义:

• \(dp[i]\)表示\(nums[0:i]\)的LIS的长度;

状态转移:

• \(dp[i]\)取决于\(nums[i]\)是否大于\(nums[0:i-1]\)的LIS中的最大值(这个最大值设为\(m(i-1)\));

\[dp[0] = nums[0] \]

\[\begin{equation} dp[i]=\left\{ \begin{aligned} dp[i-1] + 1 && if(nums[i]>m(i-1))\\ dp[i-1] && otherwise \end{aligned} \right. \end{equation} \]

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        vector dp(n, 0);
        dp[0] = 1;
        int m = nums[0];
        for(int i = 1; im) {// 这里的评判标准m, 是数组nums[0:i]中的最大值, 而不是`nums[i]的所有LIS中的最大值`; 
                m = nums[i];
                dp[i] = dp[i-1] + 1;
            }else {
                dp[i] = dp[i-1];
            }
        }
        return dp[n-1];
    }
};

正确实现

定义:

• \(dp[i]\)表示\(nums[0:i]\)的LIS的长度;
  • 【注1】: 仅仅这样定义还不够, 实际上\(dp[i]\)必须是\(nums[0:i]\)的包含nums[i]的LIS的长度;
  • 引用一下官方题解: "定义 \(dp[i]\) 为考虑前 \(i\) 个元素，以第 \(i\) 个数字结尾的最长上升子序列的长度，注意 nums[i] 必须被选取。"

初始状态:

• \(dp[i]\)应初始化为1;

状态转移:

• 状态转移处在这样的情境: 已经计算出了\(dp[0] \sim dp[i-1]\), 通过这些结果和\(nums[i]\)获得\(dp[i]\)的值;
• 如何计算: \(dp[i]\)取决于\(nums[i]\)是否大于\(nums[0:i-1]\)的LIS中的最大值
  • \(nums[i]\)并不需要大于\(nums[0:i-1]\)中的所有元素
• 在计算新的\(dp[i] \quad (i \in [0,n-1])\) 时, 遍历\(dp[j] \quad (j \in [0, i-1])\)
  • Q: \(dp[j]\)表示数组\(nums[0:j]\)中含有的LIS的长度, 这个LIS未必包含\(nums[j]\), 为什么\(nums[j] < nums[i]\)就可以产生\(dp[i] = dp[j] + 1\)的可能性? A: 是【注1】的定义, 为这样判断提供了可能性;
  • 如果\(nums[j] < nums[i]\), 说明无论\(nums[0: j]\)这个数组如何, 由于\(dp[j]\)中保证存储的是包含nums[j]的LIS的长度(即\(nums[j]\)是LIS中的最大值), 所以\(dp[i] = dp[j] + 1\)可以作为\(dp[i]\)取值的一个选项;
  • Q: 为什么要取max? A: 因为未修改之前的\(dp[i]\)有可能大于\(dp[j]+1\); 这其实也是由【注1】的定义带来的;
  • 如果\(nums[j] \le nums[i]\), 说明包含\(nums[j]\)的LIS对\(dp[i]\)没有贡献, 后者保持;

转移方程:

\[\begin{equation} \textrm{for each j} \in [0, i-1] :\quad dp[i]=\left\{ \begin{aligned} \max(dp[i], dp[j] + 1) && if(nums[j] < nums[i]) \\ dp[i] && if(nums[j] \ge nums[j]) \end{aligned} \right. \quad \end{equation} \]

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n==0) return 0;
        vector dp(n, 1);
        for(int i = 1; inums[j]) {
                    dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
                }// else pass
            }
        }
        return *max_element(dp.begin(), dp.end());
    }
};

执行用时 :52 ms, 在所有 C++ 提交中击败了53.23%的用户
内存消耗 :9 MB, 在所有 C++ 提交中击败了5.07%的用户

注:

• 无后效性体现为, 当更改后面的\(dp[i]\)时, 前面的\(dp[j]\)不会被反馈地影响;

贪心算法

最长上升子序列 - 最长上升子序列 - 力扣（LeetCode）