Lie Derivative, Connection and Covariant Derivative

Lie derivative: 首先是在流行中有一些flows, 对于这些flows可以定义tangent vectors. 或者可以反过来想，现在流行中放一些向量场，可以放几个。在某一个向量场里，可以从任一点出发，弄出一些可积的曲线，或者说flows. 比如其中一个向量场是电磁场，另外一个向量场是电子的运动的方向场。然后我们可能关心的就是电磁场如何随着电子运动的方向场变化。这个变化就是一个李导数。（导数本身最基本的意义就是变化）。所以可以总结出李导数描述一个向量场如何随着另一个向量场变化。

Connections:这里我们就狭义地说affine 联络。 联络简单来说描述流行的不同点的tangent space的关系的。在流行的每一点都有一个切量空间，从这里看，不同点的切量是没有关系的，因为他们所处在不同的空间中。为了比较不同向量空间的向量，需要引入并行移动的概念。定义了联络也就定义了一种平行移动。可以说：联络=平行移动。决定移动的方向需要确定一个方向，也是一个切向量，所以可以可以吧联络或是平行移动的操作看成一个映射：(V,V) -> V. 从结果看这个映射定义了一个1-form.
协变导数表述了平行移动后切向量的变化。