高等代数理论基础35：唯一性

唯一性

在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩可称为二次型的秩

注：标准形的系数不唯一确定,在一般的数域内,二次型的标准形不唯一,而与所作的非退化线性替换有关

复数域

设为一个复系数的二次型,经一适当的非退化线性替换后,变为标准形,不妨设为

显然,r为的矩阵的秩,复数总可开平方,再作一个非退化线性替换

可得

称为复二次型的规范形,显然规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定

定理：任一复系数二次型,经过一个适当的非退化线性替换可变成规范形,且唯一

注：即,任一复数的对称矩阵合同于一个形式如下的对称矩阵,从而两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等

实数域

设为一实系数二次型,经过某一非退化线性替换,再适当排列文字次序可使变成标准形,其中,r为的矩阵的秩,在实数域中正实数总可开平方,再作一非退化线性替换

可得

称为实二次型的规范形,显然规范形完全被r,p决定

惯性定理

定理：任一实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可变成规范形,且唯一

证明：

惯性指数

定义：在实二次型的规范形中,正平方项的个数p称为的正惯性指数,负平方项的个数r-p称为负惯性指数,它们的差称为符号差

惯性定理另一种叙述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数

定理：(1)任一复对称矩阵A都合同于一个如下对角矩阵

其中对角线上1的个数r等于A的秩

(2)任一实对称矩阵A都合同于一个如下对角矩阵

其中对角线上1的个数p以及-1的个数r-p(r为A的秩)都唯一确定,分别为A的正、负惯性指数,它们的差2p-r称为A的符号差