凸优化（三）部分集合变换与凸函数

1. 概述

之前介绍了凸集相关的定义与部分性质，其实不是特别完全，因为单单的几篇博客是无法把凸集这一块完全讲全的，所以凸集变换这里也只讲几个稍微重要的变换。来捋一下学习的脉络吧，凸问题由求解变量、约束与目标函数组成，其中变量的可行域必须是凸集。所以下面要介绍的就是涉及到约束和目标函数的凸函数了。至于求解这个以后会说相关的经典算法的。

2. 集合变换：

（1）仿射变换：定义为对于凸集，进行线性变换，可以看出集合X在维数变换后仍旧是凸集，通俗地来讲，对一个集合进行拉伸和位移不会改变凸性，比如说在上节已经提到的球进行拉伸成椭球，依旧是凸集。

（2）透视变换，假设有集合,则经过如下变换：得到的集合仍为凸集。实际上是一种降维操作了，通俗地解释也可以做到,看一下这张图:

透视变换

假设在二维平面上过一点做一条过原点的直线，显然直线方程为，然后做一条的直线，它们会交于点处。那么透视变换的含义是啥呢？就是将经过原点映射到点。实现了一次降维，这样得到的集合仍旧为凸集。

（3）线性分数函数：对于集合X为凸集，在经过以下变换之后，其结果仍为凸集：说明一下，这里是非常常用的变换技巧，因为显然这个变换是个非线性变换，但是得到的集合却仍旧是凸集。用到了两个变换性质，第一就是仿射变换，仿射变换是对凸集进行线性变换后仍旧是凸集，即。然后又进行了透视变换，即将一个的凸集，它有一维数据大于0，然后对其Z的数据除以T，进行降维处理得到的仍旧是凸集。

举个例子：在本科的概率与统计课程中有这样的例子，两个随机变量的联合概率条件概率的映射

联合概率：，条件概率：，其实这个条件映射是一个线性分数映射，大家可以想想看哪个集合充当了X的集合，又是怎样的变换。这里给出解释：就是将向量作为X，分母作为向量的求和,分子则是与这样的向量作了内积：，只有处为1的向量。

3. 凸函数

3.1 定义

如果X为在实数向量空间的凸集。并且有映射，如果被称为凸，则有如果F被称为严格凸，那么有：

3.2 保持凸性的操作

和之前介绍的集合变换有相通的地方，但是是对函数映射的操作。

（1）取负操作：当为凸函数的时候，为凹函数。

（2）非负加权和：即存在参数向量为凸的，那么也为凸函数，特殊的情况就是，有限个凸函数的和为凸函数。（也可以拓展到无限和，积分和期望值（存在的话））

（3）元素最大值：有是凸函数的集合。得到新函数仍旧为凸函数，这个性质挺重要的，有以下两个特殊情况：
（3.1）若为凸函数，则r仍为凸函数。
（3.2）若在以x为自变量时为凸函数，那么也以x为自变量为凸函数，即使C不是凸集。

（4）组合函数：
（4.1）若是凸函数并且在单变量域上不见效，那么也是凸函数。比如当时，为凸函数，那么也是凸函数，因为单调且为凸函数。
（4.2）经过仿射变换下（具体见2集合变换）的凸函数仍为凸函数。

（5）最小化：若在组成的定义域内为凸函数，那么在单变量x上为凸函数，但是要满足C是凸集，且