线性代数——01 向量究竟是什么

引入一些数作为坐标是一种鲁莽的行为。——赫尔曼.外尔

不同视角看向量

线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量；

不同视角看向量

• 物理专业视角：向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度和它所指的方向，只要这两个特征相同，你可以自由移动一个向量而保持它不变；处在平面中的向量是二维的，而处在我们所生活的空间的向量是三维的；
• 计算机专业视角：向量是有序的数字列表，比如说你正在做一些有关房价的分析，你只关心两个特征：房屋面积和价格，你就可以用一对数字对房屋进行建模，第一个数字代表面积，第二个数字代表价格，如[100, 200]，列表是有序的，所以[100, 200] != [200, 100]；用行话讲，你可以用二维向量对房屋进行建模，在这里向量只不过是列表的一个花哨说法；之所以这个向量是二维的，因为列表的长度是2；
• 数学家视角：试图概括上面两种观点，大致地说，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可；这种看待向量的观点相当抽象，但这里暗示了一个事实，即向量加法和向量数乘贯穿线性代数始终，二者起着很重要的作用；

数学中的向量

向量是空间中的箭头

• 向量是空间中的箭头：以二维平面举例，向量是落在这个坐标系的箭头，并且箭头起点位于原点，这与物理专业的看法略有不同，因为在他们眼中，向量可以在空间中自由落脚，但是在线性代数中，向量经常以原点为起点；

向量是有序的数字列表

• 向量是有序的数字列表：以二维平面举例，我们可以通过向量坐标来理解它，一个向量的坐标由一对数构成，这对数指导你如何从原点（向量起点）出发到达他的尖端（向量终点）；第一个数告诉你沿着x轴走多远，正数代表向右移动，负数代表向左移动；第二个数告诉你在此之后沿着平行于y轴的方向走多远，正数代表向上移动，负数代表向下移动；为了把向量和点区别开，惯用的方法是吧这对数竖着写，然后用方括号括起来；每一对数给出唯一一个向量，而每一个向量恰好对应唯一一对数；三维向量也是同样的道理，不做赘述；

向量加法

向量加法

为了把他们相加，我们平移，使它的起点与的终点集合;

向量加法

然后画一个向量，它从第一个向量的起点出发，指向第二个向量的终点，这个向量就是它们的和；顺便一提，这个向量加法的定义差不多是线性代数中唯一允许向量离开原点的情形；

为什么这样定义是合理的？

向量运动

向量是一种特定的运动，即在空间中朝着一个方向迈出一定距离，如果你先沿着第一个向量运动，然后再按照第二个向量所描述的运动方式运动，总体效果与你沿着这两个向量的和运动无异；

向量运动

总的来说，在“向量是有序的数字列表”观点里，向量加法就是把对应项相加。

向量数乘

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• 比如选择数字2，把它与一个给定的向量相乘，意味着把这个向量拉长为原向量的2倍；当然你也可以乘以1/3，表示缩短为原来的1/3；乘以-1.8， 表示先对这个向量反向，再拉长为原来的1.8倍；这种拉伸或压缩，有时又使向量反向的过程就称为“缩放”，而我们选取的数字就是“标量”；实际上自始至终，数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量；所以通常“标量”和“数字”在这里可以相互替换；

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• 从数字的角度来看，将一个向量伸长为原来的2倍，对应于每一个分量分别乘以2，所以将向量 一个数字列表时，向量与标量相乘就是将向量中的每个分量与标量相乘。

总结

线性代数围绕两种基本运算：向量加法与向量数乘，将它们抽象独立出来，不管你选什么代表向量都与之无关；实际上无论你怎么看待向量都无所谓，或把向量看做空间中的箭头，或是把向量看做数字列表，线性代数的效果很少体现在这些观点的其中一个上，而是更多地体现在它能够在这些观点中相互转化；线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化、可视化的渠道，他让数据样式变得非常明晰，并让你大致了解特定运算的意义；另一方面，线性代数给物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言，让他们通过计算机处理数字的能力来描述并操纵空间。