NOI ONLINE 入门组 魔法 矩阵快速幂

做了这道题我才发现NOI入门组!=NOIP普及组

题目链接

  https://www.luogu.com.cn/problem/P6190

题意

  给出一张有向图,你有K次机会可以反转一条边的边权,即让它变成自己的相反数,但只有一次有效,也就是说当你走过这条边后,这条边的边权就会又变回去,如果没有这个性质,那么在出现环时,就可以无限刷边权了。

分析

  看到这道题的时候,我第一想到的,这不就是分层图最短路嘛,应该还是个板子,看到数据的时候我惊了,K<=106,这好像也没办法开数组吧,但由于我技术有限,所以当时就只打了一个分层图最短路,在洛谷上评测的时候,理论上是可以拿到90分的,除了最后两个点不过,但我只有85分,有一个点一直不能A,不知道为什么。

  后来的时候也没怎么想这道题,我以为有更牛13的方法可以开下这个数组,直到前几天看见有人说这题用矩阵做?我当时就对这道题产生了好奇心,矩阵怎么做。。。后来看了看题解,自己又简单分析了一下,大概是掌握了,首先我们先来分析数据,K的值很大而n却很小,当时我一直没有注意到这一点,这可以启示我们什么?我们可以通过状态的递推来使得K不断减小,而n又这么小,n3的效率也可以接受,所以考虑使用floyd算法,因为刚接触最短路算法没几个月,可能觉得floyd算法的实用性不是很高,因为有的时候n给的范围连数组都开不下,所以我们一般都会用dij或是spfa来跑最短路,但很关键的一点是什么,不管是dij还是spfa都是单源最短路,也就是说起点是确定的,而floyd算法,虽然n3但可以一次性跑出每个点之间的最短路,并且它还是一个矩阵,floyd算法的公式大家应该都会写,写出来如果把min换成+后,再观察一下,是不是和矩阵乘法十分像?那是不是同样可以考虑使用矩阵快速幂优化?所以可以考虑从这个地方下手。

  先来考虑带着K进行转移,假设F[k][i][j]表示从i到j至多用了k次魔法的最短路径,为什么是至多而不是恰好呢?假如A->B就只有两条有向边,走过去就走不回来了,那么F[10][A][B]==F[2][A][B]是显然的,那么如果我们定义为恰好,那么就会导致F[10][A][B]求不出来,所以在转移的时候就会出现问题。接着考虑F[k][i][j],看下图,我们假设从s到t至多用了k-1次魔法,从t到v至多用了1次魔法,那么

                      F[k][s][v]=min(F[k][s][v],F[k-1][s][t]+F[1][t][v])

是显然可以看出的,如果我们对任意s,v,枚举t,是不是就可以得出s,v之间的最短路了呢?这也是显然的吧。这里就体现出了floyd的好处了,这是dij和spfa所不能拥有的,就是任意两点之间的最短路都可以求出,在这一点上dij和spfa是赶不上的floyd的,那么我们就已经接近正确答案了,毕竟递推公式都有了,是吧。

NOI ONLINE 入门组 魔法 矩阵快速幂_第1张图片

 

   但是这个递推公式解决的问题其实不多,在不要求时间的情况下是可以解决这个问题的,但这是竞赛啊,时间卡的很死,所以考虑进行优化,观察上述递推式,是不是很熟悉?min改成+后再看看,这不就又是矩阵乘法了嘛?所以我们可以定义一种矩阵运算,让矩阵A*B为矩阵乘法的加号改成min后运算得到的结果,这个时候,令矩阵F[k]表示至多使用k次魔法后,每个点之间的最短路,由上述递推式可以得到

                            F[k]=F[k-1]*F[1] (*为重定义后的运算符)

  那么F[k-1]呢,F[k-1]=F[k-2]*F[1]对吧,这里不难推出,F[k]=k个F[1]运算,接下来我们只要考虑这个运算能不能使用结合律,如果可以,那完全可以用快速幂优化,而取min的话,不管怎么取,最小值都是不会变的,所以这个运算是可以使用结合律的,那么我们也可以用矩阵快速幂优化。

  所以上述递推式又变成了F[k]=F[1]k,我们只要求出F[1]即可,F[1]表示的是啥?至多使用一次魔法的最短路呗,所以F[1]可以由F[0]即floyd数组转移过来,枚举每条边即可。

  分析到这里,代码基本上就已经出来了,写起来很简单,但思路很不好想,这道题让我知道了可以从数据范围来考虑解法,因为题目是一定有解的嘛,所以给出的数据范围大小一定有它的道理的,从这方面下手有时候也许也不错。

  

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 #define ll long long 
 6 using namespace std;
 7 const int N=100+5;
 8 ll dis[N][N],f[N][N];
 9 struct Edge{
10     ll from,to,val;
11 }e[25*N];//因为要枚举边所以要开一个结构体
12 ll m,n,k;
13 void Ins(ll a,ll b,ll c,ll len){
14     e[len].to=b;e[len].val=c;e[len].from=a;
15 }
16 void Mul(ll d[N][N],ll a[N][N],ll b[N][N]){
17     ll t[N][N];
18     memset(t,0x3f,sizeof(t));
19     for(ll i=1;i<=n;i++)
20         for(ll j=1;j<=n;j++)
21             for(ll k=1;k<=n;k++)
22                 t[i][j]=min(t[i][j],a[i][k]+b[k][j]);//重定义后的矩阵运算
23     memcpy(d,t,sizeof(t));
24 }
25 int main(){
26     scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
27     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
28     for(ll i=1;i<=n;i++)//最开始除了到自己外全为正无穷
29         dis[i][i]=0;
30     for(ll i=1;i<=m;i++){
31         ll a,b,c;
32         scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
33         Ins(a,b,c,i);
34         dis[a][b]=c;//无重边自环直接赋值就行
35     }
36     for(ll cc=1;cc<=n;cc++){
37         for(ll i=1;i<=n;i++){
38             for(ll j=1;j<=n;j++){
39                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][cc]+dis[cc][j]);//floyd
40             }
41         }
42     }
43     memcpy(f,dis,sizeof(dis));
44     for(ll i=1;i<=m;i++){
45         ll u=e[i].from,v=e[i].to,w=e[i].val;
46         for(ll j=1;j<=n;j++)
47             for(ll cc=1;cc<=n;cc++)
48                 f[j][cc]=min(f[j][cc],dis[j][u]-w+dis[v][cc]);//F[1]
49     }
50     for(;k;k>>=1){//矩阵快速幂
51         if(k&1)Mul(dis,dis,f);
52         Mul(f,f,f);
53     }
54     printf("%lld\n",dis[1][n]);
55     return 0;
56 }

 

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