Symmetries without group

本科的时候，群论的光芒在我眼中闪耀了两次。一次是伽罗瓦理论，一次是对平面对称图形的完全分类。

大一下学期混进了丘班的高等代数的课，那也是许以超老爷子退休前的最后一学期的课，用的是他自己编的“线性代数和矩阵论”。站在讲台前，老爷子总是神采奕奕，一直不停地讲直到课中间的休息，他就会到教室外抽一支烟，还经常说，我肺不好，只能抽一支。讲课的时候，老爷子也会经常提到华罗庚还有伽罗瓦。虽然我最后没有机会听老爷子亲自讲伽罗瓦理论，但是伽罗瓦的名字却深深印入 了我脑海中。最后起期末考试，本来只有2个小时，老爷子看我们做不出来，就急的马上在黑板上讲了起来，最后考试延迟到4个小时，要不是因为下一门考试的同学来敲门，不知又会延多久。

群论是描述对称性最直接的语言。每一个平面的对称图形都可以由一个群来描述。而群论确定这样的图形的种类只有17种分别对应了17个不同群。每次在书中看到那17种可能的图形的样式，也只是看一个乐，大概能看出一些群的样子，但是一旦深究到底这个图形是表示了个什么群也是说不出个所以然来，而且那些群的名字在我眼里也是千奇百怪张牙舞爪的。Conway这本书真是让我大吃一惊！原来描述对称并不一定需要群论！

不管懂不懂数学，这本书都是一本好看的书（前三分之二）。甚至可以当做一本画册来看。书分了三个部分：第一部分是介绍了用orbifold还有signature来分类所有平对（球面）对称图形的方法还有理论基础：拓扑。 相比群论，这套语言简直简短纯净地像南极的雪，我也是第一次真真正正地完成了自己的一次对平面图形的分类。更让我惊喜的是，这个理论提供了一个拓扑和群论的对偶。弦论里的散射振幅涉及到一个对于worldsheet所有拓扑的叠加，通过这个语言，这个叠加就可以转换成一个对于worldsheet的对称群的叠加。这个发现还是让我惊呼一下的，不知道有没有人深入研究过；第二部分是一本orbiford-group的辞典，教你怎么从这个新的语言推导出相应的群，在这里让我见到了最简单最有趣的关于球面欧拉数为2的证明！。第三部分比较数学讲得是高维的对称图形（我没有看）。

这套新的方法被称为geometrical group是由Murray McBeath开创。在网上也能看到一些tutuor. 最后就用一句我也不太懂的这个领域的大神 Thustond的话结束吧：

Thou shalt know on geometrical group save by understanding its orbifold.